Manera más simple de evaluar la transformada de Fourier de $\exp\left(i e^x\right)$?

Question

Tengo la tarea de evaluar a $|a(k)|^2$ con $$a(k) = \int_{-\infty}^\infty \!dx\,\exp\left(i k x + e^{x}\right).\la etiqueta{1}$$

La integral en (1) puede ser evaluado de forma explícita a través de la sustitución $y=e^{x}$ con el resultado $$a(k) = e^{-\pi k/2} \Gamma(ik)$$ donde $\Gamma(x)$ es el valor de Gamma-función. Utilizando el resultado de $$\Gamma(ix)\Gamma(-ix) = \frac{\pi}{x \sinh(\pi x)} \etiqueta{2}$$ nos encontramos $$|a(k)|^2 = \frac{2\pi}{k(e^{2\pi k} -1)}.$$

¿Alguien sabe un método directo para evaluar $|a(k)|^2$, posiblemente, el uso de algunos métodos de análisis complejos de tal manera que uno no necesita saber el especial de la propiedad (2) de la Gamma-función (e incluso la Gamma-función de sí mismo)?

Edit1: (véase también la edición de 2 acerca de la cuestión de la convergencia) Hubo una pregunta acerca de posibles problemas con la convergencia de la integral. Permítanme indicar en qué sentido puede uno dar un sentido a las fórmulas anteriores. Eq. (1) converge en el semiplano $\text{Im}(k) < 0$. Por supuesto, queremos en la final $k \in \mathbb{R}$. Debemos entender esto como una limas $$a(k)=\lim_{\eta\downarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \!dx\,\exp\left(i k x - \eta x + e^{x}\right)$$ y nos preguntamos por el valor de $$|a(k)|^2= \lim_{\eta\downarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \!dx\,y\,\exp\left(i k x - \eta x + e^{x} -yo k y - \eta y - i e^{y}\right)$$

Para demostrar que (1) es, en efecto convergente para $\text{Im}(k) < 0$, empleamos la sustitución $y= e^x$ y obtener $$a(k)= \int_0^\infty\!dy\,e^{i y} y^{i k -1}.$$ La magnitud de el integrando es de $\sim \exp[-\text{Im}(y)]$ para $|y|\to \infty$, y el integrando no tiene singularidades. Por lo que podemos deformar la integración de contorno a lo largo del eje imaginario positivo con y=iz$y$$a(k) = i\int_0^\infty\!dz\, e^{-z} (iz)^{ik-1}$$que es convergente para$\text{Re}(ik -1)= -\text{Im}(k) -1 >-1$.

Edit2: (acerca de la convergencia)

Como la pregunta acerca de la convergencia de la integral como se define surge una y otra vez, aquí es una explicación sin necesidad de utilizar el análisis complejo (que podría ser más fácil de entender para algunos). Tenga en cuenta que, como antes, entendemos $a(k)$ $\lim_{\eta\downarrow 0}a(k-i \eta)$.

Comenzando con Eq. (1) empleamos el cambio de variables $y=e^{x}$. Los límites de la integral resultante es de $y\[0,\infty)$ que se divide en dos integrales que vamos a analizar de forma individual, $$a(k) = a_1(k) + a_2(k) = \int_0^1\!dy\, y^{ik-1} e^{i y} + \int_1^\infty\!dy\, y^{ik-1} e^{i y}.$$

Es sólo para la parte de $a_1(k)$ donde nos necesita preocuparse por el límite de $\eta\downarrow 0$. En particular, se puede realizar una integración por partes (integrando $y^{ik-1}$) y obtener $$a_1(k) = -i k^{-1} e^{i} + k^{-1}\lim_{y\to 0} (i e^{i y} y^{ik}) - k^{-1}\int_0^1\!dy\, y^{ik} e^{i y} =-i k^{-1} e^{i}- k^{-1}\int_0^1\!dy\, y^{ik} e^{i y} .$$ Para la desaparición del límite, hemos utilizado el reemplazo de $k\mapsto k-i\eta$ con $\eta \downarrow 0$. El resto es finito como $| y^{ik} e^{iy}| =1$.

La segunda parte de $a_2(k)$ es finito, incluso para real $k$ (comprensión de la integral como una integral impropia). A ver que explícitamente, presentamos $z(y)= y + k \log y$. Para $y> y^* =\text{max}(1,-k)$ la variable de cambio $z(y)$ es monótonamente creciente. Así que podemos escribir $$a_2(k) = \int_1^{y^*}\!dy\, y^{ik-1} e^{i y} + \underbrace{\int_{z^*}^\infty\!dz\, \frac{e^{i}}{y(1+k/y)}}_{a_3(k)}.$$ El primer término es trivialmente finito. El segundo término, nos dividimos en real y la parte imaginaria. Nos muestran que la parte imaginaria es finito, la parte real es análogo. Hemos dividido la integral en partes con $z \in [ m \pi , (m+1) \pi]$ con $b_m= \int_{m\pi}^{(m+1)\pi}\!dz\,\sin(z)/y(1+k/y)$. Ponemos $m^* = \lceil z^*/\pi\rceil$. Tenemos $$\text{Im}\,a_3(k) = \int_{z^*}^{m^* \pi} \!dz\,\frac{\sen z}{y(1+k/y)} + \sum_{m=m^*}^\infty b_m.\la etiqueta{3}$$ Tenemos que $(-1)^m b_m \geq 0$ mus $b_m$ se alternan en signo. Por otra parte, $$|b_m| \leq \frac{1}{m(1+k/m\pi} \leq \frac1m \0 \quad (m\to\infty),$$ así que la serie en (3) converge debido a que el criterio de Leibniz.

Answer 1

Está usted seguro de que su fórmula es correcta? (piense en lo que sucede en $k=-1$). Lo que se busca es el pasado transformada de Fourier $F(k+1)$, donde $F$ es la transformada de Fourier de la función constante $1$. Es generalmente aceptado que esto es de $2\pi\delta(x)$ (la función delta de Dirac). Esto se justifica por los físicos mediante ad hoc empírica razonamiento, pero se puede demostrar rigurosamente como un intervalo paramétrico en el sentido de la teoría de la distribución. Esto fue hecho por J. Sebastián e Silva en un seminal, pero difícil de encontrar, en el artículo "de las Integrales y las órdenes de crecimiento de las distribuciones" (Lisboa, 1964).

Answer 2

Mathematica 9.0 dio:

  Integrate[Exp[I k x + I Exp[x]], {x, -Infinity, Infinity}]

  ConditionalExpression[E^(-(k Pi/2) Gamma[I k], -1 < Im[k] < 0]

De modo que la integral es convergente sólo cuando $-1<\text{Im}(k)<0$.

Para entender por qué es así, se rompe el original de la integral en dos partes: $$a(k)=a_1(k)+a_2(k)$$

$$a_1(k)=\int_{-\infty}^0 \!dx\,\exp\left(i k x + e^{x}\right)=-\int_0^{\infty} \!dy\,\exp\left(-i k y + e^{-y}\right)$$

$$a_2(k)=\lim\int_{0}^\infty \!dx\,\exp\left(i k x + e^{x}\right)$$

Podemos ver que cuando la $k=2-2i$ (es decir, $\text{Im}(k)<-1$), tenemos:

$$\exp(i k x)=\exp(i (2-2i) x)=\exp(i 2 x)\exp(2 x)$$

Este factor en $a_2$ va a ser divergentes.