¿Qué significa el denominador en la segunda derivada?

Question

Esto se me ocurrió hace unos días.

Sabemos que la derivada de una función $y=f(x)$ es $\frac{dy}{dx}$ . Esto se debe a que representa cómo $y$ cambios con $x$ que es la tasa de cambio de $y$ o, más concretamente, el gradiente de una función.

Entonces la segunda derivada es la tasa de cambio de la tasa de cambio, o la tasa de cambio del gradiente. Como una tasa de cambio general es $\frac{d}{dx}$ la segunda derivada es $(\frac{d}{dx})(\frac{dy}{dx})$ . Así, la forma expandida es $\frac{d^2y}{dx^2}$ .

Mi pregunta es si el denominador $d(x)^2$ o es $(dx)^2$ ? Seguramente, sería esto último, porque al ampliar $(\frac{d}{dx})(\frac{dy}{dx})$ El $(dx)(dx)$ se convertiría en $(dx)^2$ . Pero entonces, ¿por qué nunca se escribe con paréntesis? Estoy seguro de que eso confundiría a algunas personas, y yo mismo me di cuenta cuando empecé a pensar en la segunda derivada correctamente, en términos de lo que realmente significa.

Answer 1

Tienes toda la razón. Cuando escribimos $\frac{d^2y}{dx^2}$ En realidad, lo que queremos es escribir $\frac{d^2y}{(dx)^2}$ pero esos paréntesis dificultan la lectura y escritura del denominador. Los matemáticos aceptan la forma $\frac{d^2y}{dx^2}$ sin duda, porque no es exactamente una expresión algebraica (aunque a veces se puede tratar como tal), sino que es una notación que representa el concepto de encontrar la tasa de cambio de la tasa de cambio.

Answer 2

Tienes razón en que realmente debería ser $(dx)^2$ (si se preguntaba "¿por qué debería ser así?", vea mi respuesta aquí ).

Sospecho que los corchetes/paréntesis no están escritos porque el propio Leibniz no los escribió cuando presentó la notación por primera vez y todo el mundo se limitó a seguir su ejemplo.

Answer 3

Es cierto que $dx^2$ en realidad significa $(dx)^2$ . O, incluso mejor, $(\text{d}x)^2$ (nótese que no está en mayúsculas $d$ porque es un operador y no una variable). Sin embargo, si se trata de diferenciales como unidades algebraicas, no se puede utilizar la notación estándar de $\frac{d^2y}{dx^2}$ . Si realmente se realiza la derivada de $\frac{dy}{dx}$ se dará cuenta de que $\frac{dy}{dx}$ es un cociente, y por lo tanto requiere la regla del cociente para resolverlo. Después de simplificar todo, la segunda derivada utilizando diferenciales manipulables algebraicamente es en realidad $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dx^2}$ . Aquí, $d^2y$ es una abreviatura de $\textrm{d}(\textrm{d}(y))$ y $dx^2$ es una abreviatura de $(\textrm{d}x)^2$ .

Usando esta notación, las diferenciales de la segunda derivada pueden ser manipuladas algebraicamente de forma libre, mientras que usando la notación estándar no pueden. El artículo "Extending the Algebraic Manipulability of Differentials" explora esta idea más a fondo.