¿Por qué la multiplicación actúa como la escala y la rotación de un vector en el plano complejo?

Question

Utilizo regularmente la analogía geométrica de la multiplicación por un número complejo para representar una escala y una rotación de un vector en el plano complejo. Un ejemplo muy sencillo, i apuntaría hacia arriba a lo largo del eje Y y multiplicándolo por i de nuevo sería una rotación de 90 grados que resultaría en algo apuntando en la dirección -X.

El caso es que ya no recuerdo por qué es así. Ya no me resulta obvio por qué la multiplicación está relacionada de alguna manera con la rotación (la escala parece bastante obvia) y fui incapaz de explicar la lógica de este útil truco a un amigo que me preguntó por qué funcionaba.

¿Podría darme una explicación muy clara de esta interpretación geométrica de la multiplicación por números complejos? Me da la impresión de que tiene que ver con la identidad de Euler y la forma polar de los números complejos, pero estas matemáticas me quedan bastante atrás.

Answer 1

Todo número complejo puede escribirse de la forma $r e^{i \theta}$ . Esto se deduce de la identidad de Euler $$ e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta). $$ Para un número complejo dado $z$ puede ver cómo elegir $\theta$ et $r$ para que $z = r e^{i \theta}$ . (Por cierto, se puede demostrar la identidad de Euler sumando $i \theta$ en la serie de Taylor para $e^x$ -- Es uno de los cálculos más divertidos de las matemáticas).

Por lo tanto, si $z_1 = r_1 e^{i \theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i \theta_2}$ entonces $$ z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}. $$ En otras palabras, para multiplicar dos números complejos, "sumamos los ángulos y multiplicamos las longitudes".

Edita:

He aquí una respuesta alternativa que evita utilizar la identidad de Euler. Incluso sin la identidad de Euler, está claro que cualquier número complejo $z$ puede escribirse de la forma $$ z = r(\cos \theta + i \sin \theta). $$ Entonces, supongamos que $z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ y $z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ . Ahora multiplica $z_1$ et $z_2$ : $$ z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i r_1 r_2(\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_1 \cos \theta_2). $$ Si recuerdas las fórmulas de adición de la trigonometría, reconocemos que han aparecido milagrosamente en el lado derecho. Así que hemos descubierto que $$ z_1 z_2 = r_1 r_2( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)). $$ Esto demuestra, de nuevo, que cuando multiplicamos números complejos sumamos los ángulos y multiplicamos las longitudes.

Observaciones: Se podría objetar que en esta demostración alternativa, la aparición de las fórmulas de la suma del seno y del coseno parece un milagro. Así que probablemente prefiero la primera demostración que utiliza la identidad de Euler. Sin embargo, se podría objetar que la identidad de Euler es en sí misma un milagro, porque cuando conectamos $i \theta$ en la serie de Taylor para $e^x$ nos sorprendemos al descubrir que el seno y el coseno salen. (Cuando las cosas salen así de bien, sabemos que hemos dado con algo perfecto y hermoso.

Answer 2

$\newcommand{\I}{\mathrm i}$ Todo número complejo $z = x + y\I$ puede representarse mediante una matriz: $$ \mathbf M = \begin{bmatrix} x &-y\\y&x \end{bmatrix} $$ Es fácil comprobar que estas matrices siguen todas las reglas de los números complejos. En particular, $\det \mathbf M = |z|^2$ . Si $w = u + v\I$ es otro número complejo, tenemos $$ \begin{bmatrix} x &-y\\y&x \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ux - vy\\uy + vx\end{bmatrix} $$ que es precisamente el producto $zw$ . Esto demuestra que los números complejos pueden tanto tratarse como un vector en el plano y una transformación lineal .

Cada uno de estos $\mathbf M$ puede factorizarse en una matriz de rotación $\mathbf R$ y una matriz de escala $\mathbf S$ con (El caso de $z = 0$ está excluido) $$ \mathbf{R} = \frac{1}{|z|} \begin{bmatrix} x &-y\\y&x \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{S} = \begin{bmatrix} |z|&0\\0&|z| \end{bmatrix} $$ Entonces $\mathbf M = \mathbf R\mathbf S$ .

Por lo tanto, toda multiplicación compleja puede verse como aplicar una rotación y una escala a un vector en el plano .

Answer 3

Compute $e^{it}\cdot e^{is}$ de dos maneras:

• $e^{i(t+s)}=\cos(t+s)+i\sin(t+s)$
• $(\cos t+i\sin t)(\cos s+i\sin s)=(\cos t\cos s-\sin t\sin s)+i(\sin t\cos s+\cos t\sin s)$

Answer 4

He aquí una forma diferente de intuir por qué la regla de multiplicación del número complejo es como es desde un punto de vista puramente geométrico.

Los números reales pueden representarse por segmentos de recta (como en la geometría euclidiana) y en esta representación la multiplicación puede verse geométricamente de la siguiente manera: el segmento de recta de longitud $ab$ es un segmento de línea que "está en relación" con $a$ como $b$ "en relación con $1$ . Aquí "stands is relation" se refiere a la relación de las longitudes por lo que en fórmulas esto es sólo la afirmación de que $\frac{ab}{a} = \frac{b}{1}$ .

El mismo tipo de interpretación geométrica subyace a la multiplicación compleja: $z_1z_2$ es el número que "está en relación" con $z_2$ como $z_1$ "en relación con $1$ .

En primer lugar, definamos lo que entendemos por "relación". Para ello representaremos los números complejos como pares (pensemos en vectores en el plano) de números reales $z = (r,\theta)$ donde $r$ es la longitud del vector y $\theta$ es el ángulo relativo a la unidad " $1$ " (el $x$ eje -).

La relación del número $z_1 = (r_1,\theta_1)$ a $1 = (1,0)$ es la siguiente: escalamos la longitud ( $1$ ) por $r_1$ y girar (de $\theta = 0$ ) por $\theta_1$ . Asimismo, la relación de $z_1z_2$ en relación con $z_2$ es: escalar la longitud ( $r_2$ ) por $r_1$ y girar (de $\theta = \theta_2$ ) por $\theta_1$ . Esto se ilustra a continuación y vemos que conduce a $z_1z_2 = (r_1r_2,\theta_1+\theta_2)$ que no es más que la regla de multiplicación compleja disfrazada.

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De hecho este procedimiento, generalizando la multiplicación de escalares a vectores bidimensionales de la forma que hicimos anteriormente, es una forma de "descubrir" los números complejos (o más técnicamente un anillo con la misma estructura algebraica que los números complejos) sin ni siquiera tener que definir " $i$ " como $\sqrt{-1}$ (lo que la convierte en una buena fórmula para convencer a la gente de que no hay nada mágico en " $i$ ").

Answer 5

La forma más sencilla de explicarlo es planteando $i$ a varios poderes. Comience con la coordenada $0+i$ en forma cartesiana. Apuntará hacia arriba y se situará en el eje y. Multiplicando por $i$ a partir de aquí es sencillo utilizando este ejemplo, ya que $i*(0+i) = i^2 = -1$ . El gráfico resultante ya no tiene $i$ por lo que sólo se encuentra en el eje x. Las multiplicaciones posteriores pasan por el ciclo del exponente, girando el vector.

En general, las multiplicaciones por $i$ pasar por $i, -1, -i, 1$ que coinciden con cuadrantes del plano imaginario.