Ecuación cuadrática sistema de $A^2 + B^2 = 5$ $AB = 2$

Question

Dado un sistema de ecuaciones

$A^2 + B^2 = 5$

$AB = 2$

¿cuál es la forma correcta de resolverlo?

Puedo ver de inmediato que las respuestas son

1. $A=1, B=2$
2. $A=2, B=1$
3. $A=-1, B=-2$
4. $A=-2, B=-1$

pero no entiendo la manera correcta de llegar allí. He tratado de aislar una de las variables y poner la expresión resultante en una de las ecuaciones, pero esto no me lleve a nada. ¿Cuál es la manera correcta de resolver este problema?

Answer 1

Obviamente $A\neq 0$,$B=\frac{2}{A}$. Subtitute en la primera ecuación:

$A^2+\frac{4}{A^2}=5 \implies 0=A^4-5A^2+4=(A^2-1)(A^2-4)$

De aquí podemos deducir 4 valores de$A$, al igual que sus soluciones, encontrar $B=\frac{2}{A}$ y listo

Answer 2

Sugerencia: $$A^2+B^2+2AB=(A+B)^2=5+2\cdot2=9=3^2$$ A continuación, $A+B=\pm3$

Así

$A+B=\pm3$

$AB=2$

Caso 1)

$A+B=3$

$AB=2$

Caso 2)

$A+B=-3$

$AB=2$

Answer 3

$A^2 + B^2=5$ $AB=2$

Restando la primera ecuación con el doble de la segunda ecuación conduce a $A-B= \pm 1$.

La adición de la primera ecuación con dos veces la segunda ecuación nos da $A+B= \pm 3$.

Resolver los cuatro posibles conjuntos de ecuaciones para obtener las respuestas anteriores.

Answer 4

Usted tiene $$A^2+B^2=5 \tag 1$$ $$AB=2 \tag 2$$ So, from $(2)$, $B=\frac 2$. Plug in $(1)$ to get $$A^2+\frac 4{A^2}=5 \tag 3$$ So, $$A^4-5A^2+4=0 \tag 4$$ which is a quadratic in $A^2$.

Answer 5

Este viene a ser el clásico problema de encontrar dos números, dado que su suma $S$ y su producto $P$: son las raíces, si alguna, de la ecuación cuadrática: $$x^2-Sx+P=0.$$

Aquí, usted tiene $P=2$ y $$(A+B)^2=A^2+B^2+2AB=9, \enspace\text{whence}\quad S=\pm3.$$ Por lo tanto $A$ $B$ son las raíces de una de las ecuaciones: $$x^2-3x+2=0,\qquad x^2+3x+2=0.$$ En el presente caso, queda a aplicar las raíces Racionales teorema.