Existe una mejor notación para la integración de los dos?

Question

Estoy estudiando la cinemática con la variación de la aceleración. Para calcular el desplazamiento de la aceleración que han de integrar la aceleración con respecto a t, a continuación, integrar, que con respecto a t, esta vez con límites.

He estado escribiendo esto:

Pero se ve un poco desordenado. Hay una manera mejor?

La notación de esta página web es buena, pero parece ser que el objetivo de tener una) límites en ambas integrales (para mí el interior de la integral indefinida) y b) de las diferentes variables - en la diferenciación con respecto a t en ambas ocasiones.

Answer 1

No, no hay nada mejor que la notación - la doble integral de la notación estándar. Sin embargo, la forma en la que has escrito es problemático. Observe que al hacer una integral indefinida, usted obtener un $+c$ al final. Esta es una constante, por lo que cuando se integra una vez más tenemos $+ct$. La evaluación de$2$$5$, esto le da un $+3c$ al final de su respuesta - que usted realmente no quiere, ya que su respuesta debe ser un número.

En una integral doble, el interior de la integral a) siempre será definitiva y b) con respecto a una variable distinta que la de fuera de la integral. En su caso, recordar que la velocidad es no la integral indefinida de aceleración - es $v_0 + \int_0^ta(s)ds$ donde $t$ es el tiempo. Así que lo que quieres es $\int_2^5\int_0^ts^2dsdt$.

Esta distinción entre el $s$ $t$ es importante, ya que sin ella, te quedarás en ambigüedades en cuanto a que $t$ $dt$ se aplica.

Answer 2

Esto no acaba de tener sentido para mí, debido a $$ \int t^2 \,dt = \frac 13 t^3 + C $$ Su integral, sólo da $$ \int_2^5 \int_t \tau^2 \, d\tau\, dt = \frac 1{12} (5^4 - 2^4) + 3C $$ para algunos arbitraria $C$, por lo tanto el resultado es: cualquier(!) número. El resultado $23$ es tan fino como $\pi$, sólo diferentes e igualmente justificado opciones de $C$.

Así que me pegan a una integral doble con límites, por lo variable de los límites en el interior de uno. Es engañoso utilizar la misma integración de la variable dos veces, la forma habitual es utilizar un "look-alike" nombre de la variable, por ejemplo la correspondiente letra griega. Así, una posibilidad es escribir $$ \int_2^5 \left(u + \int_0^t \tau^2 \,d\tau\right) \, dt $$ donde $u$ es la velocidad inicial. Y si quieres seguir indefinida límites, yo iba a escribir $$ \int_2^5 \int_t \tau^2 \,d\tau \, dt $$

Answer 3

Quieres escribir $F(t) = \int t^{2}\text{d}t$. Esto es igual a:

$F(t) = F(0) + \int_{0}^{t}s^{2}\text{d}s$ , siempre que la expresión se define en $t=0$.

Entonces, usted podría escribir:

$$x = \int_{2}^{5}\left(F(0)+\int_{0}^{t}s^{2}\text{d}s\right)\text{d}t$$

En su caso, usted probablemente querrá $F(0)$ a ser su velocidad inicial $v_{0}$. Por lo tanto, la integral anterior es:

\begin{align*} x &= \int_{2}^{5}\left(F(0)+\int_{0}^{t}s^{2}\text{d}s\right)\text{d}t\\ &= \int_{2}^{5}\left(v_{0}+\int_{0}^{t}s^{2}\text{d}s\right)\text{d}t\\ &= \int_{2}^{5}\left(v_{0} + \left[\frac{s^{3}}{3}\right]_{0}^{t}\right)\text{d}t\\ &= \int_{2}^{5}\left(v_{0} + \frac{t^{3}}{3}\right)\text{d}t\\ &= \left[v_{0}t + \frac{t^4}{12}\right]_{2}^{5}\\ &= v_{0}(5-2) + \frac{5^4}{12} - \frac{2^4}{12}\\ &= 3 v_{0} + \frac{609}{12} \end{align*}

(Corregido después de TonyK comentario: he añadido los números en lugar de restar de ellos).

Answer 4

Pero una integral definida de una integral indefinida tiene un gran problema: depende del tipo primitivo. En efecto, supongamos que $F'(x)=f(x)$. Entonces $$\int_a^b\left(\int f\right)dx=\int_a^b (F(x)+C)dx=C(b-a)+\int_a^bF(x)dx$$ Está usted seguro de que esto es lo que quieres?

Answer 5

Usted debe tener $\int \int a\; dt \; dt$, luego de los límites debe ser la misma-el inicio y el final de los tiempos de la aceleración. Puede ser confuso para el uso de $t$ como la variable ficticia y también para utilizar la misma variable ficticia en tanto las integrales. Si queremos que la posición como función del tiempo $t$ a partir de $t_0$ con la posición $s_0$ y la velocidad de $v_0$ podemos usar $\tau$ $\tau'$ como variables ficticias y que se pueden conseguir $$\int_{t_0}^t \int_{t_0}^{\tau'} \tau^2\, d\tau \; d\tau'=\int_{t_0}^t\left.\left(\frac 13\tau^3\right)\right|_{t_0}^{\tau'}\;d\tau'\\ =\int_{t_0}^t\frac 13(\tau'^3-t_0^3)\; d\tau'\\ =\frac 1{12}\tau'^4|_{t_0}^t-t_0(t-t_0)\\ =\frac 1{12}(t^4-t_0^4)-t_0(t-t_0)$$