Algo que he encontrado, y me gustaría ver si es conocido.

Question

Bueno, yo estoy bastante seguro de que es conocido (me refiero a la teoría de números existe miles de años), advirtiendo de antemano, se puede ver como la numerología, pero trato de no ir a la mística.

Así que yo estaba en un autobús, y de aburrimiento empecé sólo la adición de números de la siguiente manera: $A$1+1=2$$ $$2+2=4$$ $$4+4=8....$$

etc hasta $de 32.768$ (era bastante aburrido, que puedo decir... :-)), no tengo calculadora.

y aviso de que si sigo sumando los dígitos hasta que consiga un número del 1 al 10, me da que, por ejemplo, para $8+8=16$, $1+6=7$, ahora siete pasos después de esto, en $512+512=1024$, lo que $1+2+4=7$, y de nuevo después de $7 a$ pasos $32768+32768=65536$, y la adición de $6+5+5+3+6=10+12+3=25$, $2+5=7$. Así que esto me llevó a cojecture que esta repetición puede producirse sin cesar.

Ahora, por supuesto que puedo programa de código que comprueba los números grandes, pero estoy cansado, de un día largo. Así que si esto es el caso (que puede ser refutada, pero incluso entonces me pregunto cuando esta repetición se detiene) ¿por qué?

Como ya he dicho, estoy cansado, lo podrá hacer sin sentido, y yo podría haber hecho errores en mis cálculos, y puede ser trivial.

De cualquier manera, si usted tiene alguna respuesta, me gustaría escucharlo.

Answer 1

"Sumando los dígitos hasta que reciban una cantidad de $1$ 10 $$" es lo mismo que encontrar el resto al dividir por $9$ (excepto que usted recibiría $9$ en vez de $0$ mediante la adición de dígitos, y no hay ninguna razón para dejar de con $10$: usted puede agregar los dígitos para obtener $1$).

Resulta, por algo que se llama el Teorema de Euler, que si $a$ no es divisible por $3$, entonces $a^6$ siempre deja un resto de 1 $$ cuando se divide por $9$. En particular, $2^6$ resto $1$ cuando se divide por $7$.

Otra propiedad de los restos es que si $a$ deja un remanente de $r$ cuando se divide por $9$ y $b$ deja un remanente de $s$, entonces $ab$ sale en el resto de los $r$.

Así, que significa que si $2^n$ deja un remanente de $r$, entonces $2^n\times 2^6 = 2^{n+6}$ se dejan el mismo resto como $r\veces 1 = r$; es decir, el mismo resto como $2^n$. Así que sumando los dígitos de $2^n$ hasta que se obtiene un número de entre $1$ y $9$ le dará la misma respuesta se como hacerlo por $2^{n+6}$. Esto es lo que se observa: $8=2^3$, y $512=2^9 = 2^{3+6}$. Obtendrá la misma respuesta ($7$) con $2^{15}$, $2^{21}$, $2^{27}$, etc.

Tomo nota de que estaban un poco fuera en la descripción de $512$ como "siete pasos después de" $8$: es realmente sólo seis pasos más adelante: $$8\stackrel{1}{\mapsto} 16 \stackrel{2}{\mapsto}32 \stackrel{3}{\mapsto}64\stackrel{4}{\mapsto}128\stackrel{5}{\mapsto}256\stackrel{6}{\mapsto}512.$$

Answer 2

Este es de hecho el caso.

El valor de salir al final de todas sus sumatorias es sólo el valor de su número mod 9 (esto es debido a que cualquier número natural es congruente a la suma de sus dígitos mod 9). Por ejemplo, $1024=9\cdot113+7$ es congruente a 7 mod 9. También tenga en cuenta que los números que usted está recibiendo por parte de su procedimiento de sucesivas doblando son sólo las potencias de 2. Por último, creo que está fuera de uno en uno en su recuento de sevens-el poder de los dos que están trabajando para usted $2^4=16$, $2^{10}=1024$, $2^{16}=65536$, etc.

Por lo que su efecto es verdadero porque es verdad, por $2^4$, y la posterior de cada término difiere por un factor de $2^6$, que es congruente con 1 mod 9 (directo de computación o por el Teorema de Euler -- $\phi(9)=6$).

Así que en general, la suma de la suma de los .... suma de los dígitos de los valores de $2^{4+6k}$ está dada por $$ 2^{4+6k}\equiv 2^4\cdot (2^6)^k\equiv 7\cdot 1^k\equiv \boxed{7}\pmod{9}. $$

Answer 3

De hecho, hay un período de $6 dólares. La suma de los dígitos de los ciclos a través de los números $1,2,4,8,7,5$.

Usted está doblando el número de cada momento, pero que luego la suma de los dígitos de ese número se duplicará, ya que es una función lineal del número. Esto muestra que si usted comienza con $1$ usted pasará a través del ciclo de

$$1 \2 \4 \8 \16=7 \14=5 \10=1 \a \ldots$$

Answer 4

Una repetición de este tipo fue obligado a suceder, y sucede siempre incluso en las circunstancias generales.

En primer lugar, como otros han señalado, la suma de la base 10 dígitos de un número $N$ es congruente a $N$ modulo $9$. La razón de esto es que $10\equiv 1 \bmod 9$, y así $$\begin{align*} N &= a_t \cdot 10^t + a_{t-1} \cdot 10^{t-1} +\cdots +a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 +a_0 \\ & \equiv a_t\cdot 1^t + a_{t-1}\cdot 1^{t-1} +\cdots +a_2\cdot 1^2 + a_1 \cdot 1 +a_0 \bmod 9\\ & \equiv a_t + a_{t-1} +\cdots +a_2 + a_1 +a_0 \bmod 9. \end{align*}$$ Así, si la suma de todos los dígitos de $N$ y obtener $N_1$, entonces $N\equiv N_1\bmod 9$. Si ahora sumamos todos los dígitos de $N_1 y obtener$ $N_2$, entonces $N\equiv N_1\equiv N_2 \bmod 9$. De esta manera, podemos crear una secuencia de $N>N_1>N_2> \cdots$, y desde todos los $N_i$ son números naturales, terminamos en unos $1\leq N_t \leq 9$ tales que $N_t\equiv N\bmod 9$, entonces $N_t$ es simplemente el resto de la división de $N$ $9$.

Vamos a $a>1$ ser cualquier número natural relativamente primos a $3 dólares, cuya suma de base 10 dígitos es de $b$, y deje de $s$ ser del orden de $b\bmod 9$, es decir, $s$ es el menor número positivo tal que $b^s\equiv 1 \bmod 9$. Entonces:

• La suma de la base 10 dígitos de $a$ es $b\bmod 9$.
• La suma de la base 10 dígitos de $a^{1+sk}$ también $b\bmod 9$ para todo $k\geq 0$, porque $$a^{1+sk}\equiv b^{1+sk}\equiv b\cdot b^{sk}\equiv b\cdot (b^s)^k\equiv b \cdot 1\equiv b \bmod 9.$$
• Fija de $t\geq 1$, la suma de la base 10 dígitos de $a^{t+sk}$ es $b^t\bmod 9$ para todo $k\geq 0$, por las mismas razones antes mencionadas.
• Fija de $t\geq 1$, la suma de la base 10 dígitos de $$a^{t+sk} + a^{t+sk}$$ es de $2\cdot b^t \bmod 9$ para todo $k\geq 0$.
• Y, más en general, para fijo $r\geq 1$ (relativamente primos a $3$) y $t\geq 1$, la suma de la base 10 dígitos de $$a^{t+sk} + \cdots + a^{t+sk} = r\cdot a^{t+sk},$$ donde hemos agregado de $r$ copias de $a^{t+sk}$, $r\cdot b^t \bmod 9$ para todo $k\geq 0$.

Su ejemplo es el caso de que $a=2$, $b=2$, $s=6$, $t=3$ y $r=2$. De acuerdo a la fórmula anterior, la suma de los dígitos deben ser $$r\cdot b^t \equiv 2\cdot 2^3\equiv 7 \bmod 9.$$ Pero cualquier otra opción funciona igual de bien. Pick $a=11$, $b\equiv\equiv 2 \bmod 9$, $s=6$, $t=2$ y $r=5$. Entonces, la suma de los dígitos de los números $$11^{2+6k}+11^{2+6k}+11^{2+6k}+11^{2+6k}+11^{2+6k},$$ para todos $k\geq 0$, es congruente con el $$r\cdot b^t \equiv 5\cdot 2^2\equiv 2 \bmod 9.$$ Por ejemplo:

• $11^{2}+11^{2}+11^{2}+11^{2}+11^{2}=605,$ y $6+5=11$ y $1+1=2$.

• $11^{8}+11^{8}+11^{8}+11^{8}+11^{8}=1071794405,$ y $$1+0+7+1+7+9+4+4+5=38$$ y $3+8=11$, y $1+1=2$.

• Etc.