Demostrar que la suma infinita $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{ 10 ^ n }$ converge a un número racional

Question

¿Cómo se puede demostrar que la siguiente suma infinita \begin{align} &0.1 \\+\;&0.01 \\+\;&0.002 \\+\;&0.0003 \\+\;&0.00005 \\+\;&0.000008 \\+\;&0.0000013 \\ \;&\quad\vdots \end{align} converge a un número racional?

Observe que la suma puede ser escrito como

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{ 10 ^ n }$$

donde $F_{n} $ es una secuencia de Fibonacci.

Answer 1

Tenemos $F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}$. Y el uso de un geométricas sumas llegamos $$\sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{10^n}=\frac1{\sqrt 5}\sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi^n}{10^n}-\frac1{\sqrt 5}\sum_{n=1}^\infty\frac{\psi^n}{10^n}=\frac1{\sqrt5}\frac{\frac\varphi{10}}{1-\frac{\varphi}{10}}-\frac1{\sqrt5}\frac{\frac\psi{10}}{1-\frac{\psi}{10}}=\frac{40}{(19+\sqrt5)(19-\sqrt5)}=\frac{10}{89}$$

Answer 2

¿Qué pasa si usted toma la secuencia de Fibonacci y restar la secuencia cambiado por uno?

  1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
- 0 1 1 2 3 5  8 13 21 …
= 1 0 1 1 2 3  5  8 13 …

Usted obtener la secuencia desplazado a dos, excepto para el primer número. Ahora vamos a introducir un "punto decimal", aunque los números no son realmente dígitos de la expansión decimal. Usted puede pensar en esto como una formal suma si usted prefiere hacer las cosas de manera formal, pero un punto decimal se siente más intuitiva para mí.

  1.1 2 3 5 8 13 21 34 …
- 0.1 1 2 3 5  8 13 21 …
= 1.0 1 1 2 3  5  8 13 …

La segunda fila es su número de $x$. La primera fila se desplaza un dígito a la izquierda, por lo que es $10\,x$. La última fila se desplaza un dígito a la derecha y ha añadido. Así es $1+x/10$. Ahora usted tiene una ecuación:

\begin{align*} 10\,x - x &= 1 + x/10 \\ 9\,x &= 1 + x/10 \\ 90\,x &= 10 + x \\ 89\,x &= 10 \\ x &= 10/89 \end{align*}

La elección de dónde poner el punto decimal es bastante arbitrario, usted podría también ha colocado un dígito más a la derecha y por escrito de la ecuación de $100\,x - 10\,x = 10 + x$, utilizando la parte fraccionaria de la tercera fila como su unshifted número.

El argumento de arriba funciona sin necesidad de buscar más que la definición básica de los números de Fibonacci. Pero no dependen de la convergencia de la serie. Si usted no toma por sentado, tienen un aspecto en el cociente entre dos consecutivos de la secuencia de elementos.

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{10^n\,F_{n+1}}{10^{n+1}\,F_n}= \frac1{10}\left(1+\frac{F_{n-1}}{F_n}\right)<\frac{2}{10}<1$$

así que por la prueba de razón de la serie es absolutamente convergente. Esto justifica que el tratamiento de la infinita suma como un número solo tiene sentido.

Answer 3

Sugerencia :

Denotar el problema dado como $x$ y a partir de la relación de recurrencia $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$, tenemos $$ \begin{align} x&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{10 ^ n}\\ &=\frac{F_1}{10}+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{F_{n}}{10 ^ n}\\ &=\frac{1}{10}+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{F_{n-1}+F_{n-2}}{10 ^ n}\\ &=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{F_{n-1}}{10 ^{n-1}}+\frac{1}{10^2}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{F_{n-2}}{10 ^{n-2}}\\ &=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sum_{n-1=1}^{\infty} \frac{F_{n-1}}{10 ^{n-1}}+\frac{1}{10^2}\sum_{n-2=1}^{\infty} \frac{F_{n-2}}{10 ^{n-2}}\\ &=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{10 ^ n}+\frac{1}{100}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{10 ^ n}\\ x&=\frac{1}{10}+\frac{x}{10}+\frac{x}{100}\\ \end{align} $$ El resto es un pedazo de la torta. De hecho, usando la misma técnica, se puede generalizar el problema en algo como esto: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{y ^ n}=\frac{y}{y^2-y-1} $$ Se mantiene siempre $y>\phi$.

Answer 4

El método utilizado por ambos MvG y Anastasiya-Romanova 秀 asume sin la prueba de que la serie converge. Si la serie no converge, todavía produce un valor, pero ese valor no tiene valor.

Así que primero es necesario demostrar que la $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^n}$ converge en todo. Por supuesto, usted puede seguir user296113 del plomo y el uso de la fórmula de Binet, la reducción de la saga a un par de obviamente serie geométrica convergente.

Pero si quieres resolver el problema usando nada más acerca de los números de Fibonacci de su definición básica, se puede probar, primero, que el $F_n < 2^n$ todos los $n$: Primera nota de que $F_0 = 0 < 1 = 2^0$$F_1 = 1 < 2 = 2^1$. Suponga que $F_{n-1} < 2^{n-1}$$F_{n-2} < 2^{n-2}$. A continuación, $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} < 2^{n-1} + 2^{n-2} = 3\cdot2^{n-2} < 4\cdot 2^{n-2} = 2^n$$ El resultado de la siguiente manera por inducción.

De esto tenemos que $$\sum_{n=1}^{N} \frac{F_n}{10^n} < \sum_{n=1}^{N} \frac{2^n}{10^n} = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{5}\right)^n < \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n$$ Para todos los $N$. Desde el lado derecho converge, su serie de formularios de un aumento de la secuencia en la $N$ que está delimitado por encima, y por lo tanto también deben converger.

Answer 5

Este es de hecho igual a $\frac{10}{89}$, y hay una prueba en este sitio web http://www2.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/miscellanea/miner.html

(He editado mi respuesta de $\frac{1}{89}$ después de gowrath en los comentarios señaló que yo estaba fuera por un factor de $10$.)