La expresión para el Maurer-Cartan forma de una matriz de grupo

Question

Entiendo que la definición de Maurer-Cartan forma general de la Mentira grupo $G$, que se define como

$\theta_g = (L_{g^{-1}})_*:T_gG \rightarrow T_eG=\mathfrak{g}$.

Lo que no entiendo es la expresión

$\theta_g=g^{-1}dg$

al $G$ es un grupo de matrices. En particular, no estoy seguro de cómo voy a interpretar $dg$. Me parecía que, en este caso en concreto, debo tomar una matriz de $A\in T_gG$ y una curva de $\sigma$ tal que $\dot{\sigma}(0)=A$, y calcular el $\theta_g(A)=(\frac{d}{dt}g^{-1}\sigma(t))\big|_{t=0}=g^{-1}A$ desde $g$ es constante. Por lo que se ve como $\theta_g$ es simplemente vieja izquierda la multiplicación de la matriz por $g^{-1}$. Es esto correcto? Si es así, ¿cómo conectarse a la expresión anterior?

Answer 1

Esta notación es similar a la escritura de $d\vec x$$\mathbb R^n$. Creo que de $\vec x\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ como el mapa de identidad y por lo $d\vec x = \sum\limits_{j=1}^n \theta^j e_j$ es una expresión de la identidad de mapa como un tensor de tipo $(1,1)$ [aquí $\theta^j$ son la base dual de la base $e_j$]. En la Mentira de grupo, uno es el pensamiento de $g\colon G\to G$ como el mapa de identidad, y $dg_a\colon T_aG\to T_aG$ es, por supuesto, la identidad. Desde $(L_g)_* = L_g$ sobre matrices (como se observa), para $A\in T_aG$, $(g^{-1}dg)_a(A) = a^{-1}A = L_{a^{-1}*}dg_a(A)\in\frak g$.