¿Por qué la categoría de coherente poleas no grothendieck?

Question

Deje $(X, \mathscr{O}_X)$ ser un espacio anillado. Es bien sabido que la categoría de $\mathbf{Mod}(\mathscr{O}_X)$ $\mathscr{O}_X$- módulos es una grothendieck abelian categoría (ver, por ejemplo, Grothendieck de Tohoku de papel). Al $X$ es un esquema, el pleno de la subcategoría $\mathbf{Qcoh}(\mathscr{O}_X)$ de cuasi-coherentes $\mathscr{O}_X$-módulos es también grothendieck abelian (incluso si $X$ no es cuasi-compacto y cuasi-separados, ver aquí).

Ahora, considere el total de la subcategoría $\mathbf{Coh}(\mathscr{O}_X) \subset \mathbf{Mod}(\mathscr{O}_X)$ de coherentes $\mathscr{O}_X$-módulos. Esta es una exacta abelian subcategoría pero no, en general, grothendieck. Mi primera pregunta es: ¿por qué no?

Intuitivamente hablando, ¿por qué es $\mathbf{Coh}(\mathscr{O}_X)$ no grothendieck abelian? ¿Qué va mal?

En segundo lugar, la situación puede ser rescatados?

Hay supuestos en $X$, por ejemplo, noetherian, o a través de una noetherian base, etc., en virtud de la cual $\mathbf{Coh}(\mathscr{O}_X)$ es grothendieck abelian?

Cualquier referencia que se ocupa de estas o cuestiones relacionadas es muy bienvenida.

Answer 1

La categoría coherente de las poleas es casi nunca un Grothendieck abelian categoría, pero esencialmente por razones triviales:

1. La categoría de coherente poleas en $\operatorname{Spec} A$ donde $A$ es un noetherian anillo, es equivalente a la categoría de finitely generado (= finitely presentados) $A$-módulos.
2. La categoría de finitely presentó $A$-módulos es casi nunca cocomplete, simplemente porque la suma directa de una infinidad de finitely presentó $A$-módulos es casi nunca un finitely presentó $A$-módulo!
3. Grothendieck abelian categorías son, por definición, cocomplete.

Por supuesto, tengo que seguir diciendo "casi" porque en realidad hay un ejemplo de un esquema para que la categoría coherente de las poleas es un Grothendieck abelian categoría: el vacío esquema de $\emptyset$. Pero este sistema tiene algunas bastante extrañas propiedades; por ejemplo, cada gavilla es automáticamente cuasi coherente, coherente, e incluso gratis...