¿Es posible demostrar la existencia de medidas de Gibbs utilizando el teorema de extensión de Kolmogorov?

Question

¿Es posible demostrar la existencia de medidas de Gibbs utilizando el teorema de extensión de Kolmogorov? En caso afirmativo, ¿cómo? Si la demostración es demasiado larga para escribirla aquí, ¿hay alguna referencia?

Gracias, señor.

Edita.

Sea $S$ sea un conjunto contable y $\mathscr{S}=\mathscr{S}(S)=\{\Lambda: \Lambda \subset S, \quad 0 <| \Lambda | <\infty \} $ . Para tener en cuenta podemos tomar $S$ como $ \mathbb{N}, \mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}^2$ .

Sea $ \mathscr{E}$ a $\sigma$ -en el conjunto $\mathbb{E}$ . Si $(\mathbb{E}, \mathscr{E}) = (\mathbb{E}^i, \mathscr{E}^i), \quad \forall i \in S $ definir: $(\mathbb{E}^\Lambda, \mathscr{E}^\Lambda)=\bigotimes_{i\in \Lambda}(\mathbb{E}^i, \mathscr{E}^i).$

Si $\Omega \triangleq \mathbb{E}^S = \{\omega=(\omega_i)_{i\in S}: \omega_i \in \mathbb{E}^i, \forall i\in S \} $ entonces para $ \Lambda, \Gamma \in \mathscr{S} $ avec $ \Lambda\subset \Gamma $ definir:

$ \Pi_i: \Omega \to \mathbb{E}^i $ como proyección natural de $\Omega \triangleq \mathbb{E}^S $ en $\mathbb{E}^i $ ,

$ \Pi_\Lambda: \Omega \to \mathbb{E}^\Lambda $ como proyección natural de $ \Omega \triangleq \mathbb{E}^S $ en $ \mathbb{E}^\Lambda $ ,

$ \Pi_{\Gamma, \Lambda}: \mathbb{E}^\Gamma \to\mathbb{E}^\Lambda$ como proyección natural de $ \Omega \triangleq \mathbb{E}^S$ en $\mathbb{E}^\Lambda $ .

Ahora considere lo siguiente $ \sigma $ -definidas en $\Omega $ . $ \mathcal{F}_\Lambda = \sigma \big(\Pi_\Lambda\big) $ , $ \mathcal{J}_{\Lambda}=\sigma \big(\Pi_{S/\Lambda}\big)$ , $\mathcal{F}=\sigma \big (\{\Pi_\Lambda \}_{\Lambda \in \mathscr{S}}\big)$ .

Y considere también la $ \sigma$ -algebras $ \mathcal{F}_{\Gamma, \Lambda} $ y $ \mathcal{J}_{\Gamma, \Lambda} $ definido en $ \Omega_\Gamma = \mathbb{E}^\Gamma $ respectivamente por $ \sigma \big(\Pi_{\Gamma, \Lambda} \big) $ y $ \sigma \big(\Pi_{\Gamma/\Lambda, \Lambda} \big)$ . En esta notación, el teorema de extensión de Kolmogorov puede enunciarse como sigue.

Definición Dada una familia de pro $\{\mu^{\Gamma}\}_{\Lambda \in \mathscr{S}}$ sur $(\mathbb{E}^\Lambda, \mathscr{E}^\Lambda)$ las ecuaciones

\begin{equation}\mu^\Lambda(\quad)=\mu^\Gamma\big(\Pi^{-1}_{\Gamma \Lambda} (\;\cdot\;) \big) \quad \forall ,\Gamma, \Lambda \in \mathscr{S} \text{ with } \Lambda \subset \Gamma \end{equation}

se denominan condición de consistencia de Kolmogorov.

y

Teorema [extensión de Kolmogorov] Si $(\mu_\Gamma)_{\Gamma \in\mathscr{S}} $ i medidas de probabilidad sobre $(\mathbb{E}^\Gamma,\mathscr{E}^\Gamma)$ , cumpliendo la condición de consistencia de Kolmogorov entonces existe una única medida de probabilidad sobre $(\mathbb{E}^S, \mathscr{E}^S = \mathcal{F})$ tal que

\begin{equation} \mu^\Lambda = \mu \big(\Pi_{\Lambda}^{-1}(\; \cdot \;)\big) \quad \forall \;\Lambda \end{equation}

En un breve término como medida media de Gibbs $ \mu $ en el $(\Omega,\mathcal{F})$ satisface que la condición Dobrushin-Lanford-Ruelle equivalentemente que es lo mismo que $$ \mu \Big(\Pi_\Lambda(A) \times \{\Pi_{S/\Lambda}(\omega)\}\Big)=\mu\Big(A|\mathcal{J}_\Lambda \Big)(\omega) $$ para $A\in \mathcal{F}$ y $\mu|_{\mathcal{J}_\Lambda}\mbox{-a.e. }\omega\in\Omega$ . Aquí $\mu|_{\mathcal{J}_\Lambda}$ es la restricción de la medida $\mu$ a $\mathcal{J}_\Lambda$ .

En otras palabras, es como $\mu$ que se especificará mediante la probabilidad de núcleos $(\Omega,\mathcal{J}_\Lambda)$ a $(\Omega,\mathcal{F})$ dado por $$ \mathscr{\mathcal{F}}\times\Omega\ni(A,\omega) \longmapsto \mu\Big(\Pi_\Lambda(A)\!\times\!\{\Pi_{S/\Lambda}(\omega)\}\Big) $$

Answer 1

Se puede, al menos para espacios de estados finitos $\mathbb{E}^i$ . El vínculo con el teorema de extensión de Kolmogorov se utiliza explícitamente en el teorema 5 de estas notas:

http://www.stat.yale.edu/~pollard/Courses/606.spring06/handouts/Gibbs1.pdf

El argumento anterior utiliza en realidad la "convergencia local". En el caso de estados finitos, la convergencia local es la misma que la convergencia débil de medidas, y se sabe que la topología débil es compacta en este caso. Para ver cómo se puede utilizar la convergencia local para espacios de estados infinitos, véase la Sección 4 de "Medidas de Gibbs y transiciones de fase" de H.O. Georgii.

Answer 2

En el teorema de Kolmogorov se obtiene una medida única correspondiente a un único estado de equilibrio, por lo que no es posible describir las transiciones de fase. Recuerde que en la teoría de las medidas de Gibbs puede haber más de una medida para una familia de especificaciones y cada medida describe un estado de equilibrio. Por ejemplo, si tiene 2 medidas de Gibbs, su sistema tiene 2 estados de equilibrio, lo que significa que su sistema muestra transiciones de fase (de uno a otro). Si su modelo no es capaz de describir las transiciones de fase, como la teoría de Kolmogorov, es inútil.