Demostrando ser un entero no negativo, por mostrar que no hay un espacio vectorial con él como su dimensión.

Question

El otro día asistí a una conferencia sobre los métodos para demostrar si es o no un número es un número entero. Nos dieron ejemplos de la muestra es el número de maneras de contar algo, y para mostrar que existen grupos y subgrupos y, a continuación, aplicar del teorema de Lagrange. Pero se dijo que, de tiempo en tiempo en el que surge cuando en el fin de demostrar que un entero no negativo, uno debe demostrar que existe un espacio vectorial con ella como la dimensión, por lo tanto la prueba no pueden ser negativos. Me gusta mucho el sonido de este, pero no dio el ejemplo.

Podría alguien dar un problema y de la solución de la demostración de este método de prueba?

O, al menos, aluden a uno.

Answer 1

Aquí hay dos ejemplos; tengo miedo de que la complejidad de sabios que son un poco altos para este sitio, pero aquí va. Ambos ejemplos comparten la propiedad de que ciertos números definidos originalmente en combinatoria términos, han demostrado ser nonegative enteros a través de su cohomological interpretación. (Uno puede fabricar artificial ejemplos del mismo fenómeno, comenzando con un poco de combinatoria cantidades, como las dimensiones de algunos de representaciones, que manifiestamente no negativo y, a continuación, alternativa de uso de la combinatoria de las descripciones de estas cantidades, donde la positividad es oscurecida. Sin embargo, esto es hacer trampa, ya que dichas cantidades suelen ser definido originalmente , de modo que sus nonegativity está claro.)

(1). McMullen la conjetura (Stanley teorema). Dado un (racional) convexa polytope $P\subconjunto {\mathbb R}^d$, uno define una combinatoria cantidad que captura los números de las caras de diversas dimensiones, llamado $H$-vector: $(h_0,...,h_d)$. Aunque es más oscuro (a primera vista) de la $F$-vector (vector $F=(f_0,...f_d)$ simplemente registra los números de las caras de $P$ de las dimensiones de $0 a$ través $de$ d), contiene la misma información y tiene mejores propiedades estructurales: $$ h_k= \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} {d-i\elegir k-i} f_{i-1}. $$

Pedro McMullen conjeturó que $$ 1=h_0\le h_1\le h_2\le ...\le h_m, \quad m=[d/2]. $$ Uno puede pensar de esta conjetura como la positividad de las diferencias de $\delta_i=h_i-h_{i-1}$. Tenga en cuenta que incluso la positividad de los $h_i$ (a $i$ grande) no es inmediata ya que su definición implica una alternancia de suma. Richard Stanley demostrado (ver Corolario 3.2 aquí) McMullen la conjetura por reinterpretar el problema en algebro-geométrica de la moda, donde los números $h_i$ son las dimensiones de la intersección cohomology grupos $IH^{2}(X)$ para un tóricas variedad de $X$ asociados con $P$. A continuación, los números $\delta_i$ aparecer como coranks de los mapas (de la copa de productos con el Kahler clase de $X$) $$ IH^{2i-2}(X)\IH^{2}(X) $$ viniendo desde el duro teorema de Lefschetz.

(2). Kazhdan–Lusztig polinomios. Hay importantes polinomios, llamado Kazhdan–Lusztig polinomios (ver aquí) $P_{y,w}$ asociadas con grupos de Coxeter $W$ ($y$ y $w$ elementos $W$ satisface la desigualdad $y\le w$ en el fin de Bruhat en $W$). Estos polinomios aparecen como la matriz de coeficientes en matrices de transición de uno a otro en las representaciones de Hecke álgebras. El hecho de que los coeficientes de estos polinomios son nonegative enteros no es obvio en absoluto. Para finito de grupos de Weyl (cristalográfica de tipo) el positivismo y la integralidad de estos coeficientes de nuevo de la siguiente manera a partir de su interpretación como dimensiones de determinadas intersección cohomology grupos. General de los grupos de Coxeter el positivismo y la integralidad de nuevo se sigue de un cohomological interpretación de estos coeficientes (que de nuevo aparecen como dimensiones de ciertos espacios vectoriales). Ver el mismo artículo de la wikipedia para más detalles y referencias.

Answer 2

Me gusta la pregunta, y añadir otro ejemplo:

Vamos $M$ ser $m\times n$ matriz, y dejar que $k$ ser el rango de los $M$. ¿Cómo se puede demostrar que $n-k$ es un número entero no negativo?

Usted demostrar que $n-k$ es la dimensión del espacio de soluciones del sistema $MX=0$.

Answer 3

Propongo la de Riemann-Roch fórmula.

Es una herramienta muy poderosa en la geometría algebraica. Esta fórmula se relaciona cuatro cantidades que son números enteros. La prueba, que es un maravilloso, pero no simple pieza de matemáticas, procede exactamente al demostrar que una de las cantidades en juego es la dimensión de un cierto espacio vectorial.

Answer 4

No es algo a mitad de camino entre las dos técnicas que se proponen: a saber, demostrando que un entero no negativo, mostrando que se cuenta de algo. Contando bases de espacios vectoriales es sólo un caso particular de que, y siempre se puede reducir a este caso porque cualquier conjunto puede ser hecha en un espacio vectorial con dimensión igual a la cardinalidad del conjunto original.

Un divertido ejemplo de la combinación de ambas situaciones es el collar de conteo de problema. Deje de $M(k, n)$ ser el número de collares en $n$ perlas de $k$ colores. Entonces

$$M(k,n) = \frac{1}{n}\sum_{d \mediados n} \mu(n/d) k^d$$

donde $\mu$ es la función de Möbius. Tampoco es obvio que $M(k, n)>0$ o que $M(k,n)$ es un número entero. (De hecho, no es muy difícil ver directamente que $M(k,n)>0$, por el plazo $k^n$ domina el resto de la suma, pero aún así es bueno tener de forma gratuita. Probar que $M(k,n)$ es un número entero, sin depender de esta combinatoria interpretación es más complicado.)