¿Cómo funciona el radio de convergencia depende de el punto sobre el cual la serie se expande?

Question

Para un determinado analítica germen $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$, y una simple curva de $\gamma: [0,1]\to \mathbb{C}$ tal que $\gamma(0)=z_0$, supongamos que uno puede analíticamente continuar $f(z)$ a lo largo de $\gamma$. Así, para cada punto de $\tilde{z} =\gamma(t)$ hay un poder correspondiente de la serie de $f(z;\tilde{z})=\sum_{n=0}^{\infty} \tilde{a}_n (z-\tilde{z})^n$ con su propio radio de convergencia $r(\tilde{z})$. Mi pregunta es, ¿qué puede decirse acerca de esta función $r$? Cómo regular es? ¿Es continua?

Lo que sobre para más de una variable?

Answer 1

El radio de convergencia debe ser la distancia más cercana a la punto singular. Así será continua, y será diferenciable (de hecho, suave) excepto cuando su argumento es equidistante de dos o más puntos singulares.