Para la construcción de un conjunto con un punto límite.

Question

Aprendí a construir un Conjunto de Cantor, y se me pide que haga lo siguiente.

"La construcción de un almacén de conjunto con exactamente 3 límite de puntos."

Dado que el conjunto de Cantor contiene una infinidad de puntos, no creo que algo como esto no va a funcionar. Pero esta es la única cosa que he aprendido de los libros que me dice nada acerca de la construcción de un conjunto que tiene un punto límite.

También estoy considerando el intervalo de $[0,1]$ y en la construcción de un conjunto, de modo que el límite de puntos de $\{0,1/2,1\}$.

Si es posible, me gustaría ver a más de uno de los ejemplos sencillos porque soy nuevo en el análisis y no tengo ningún maestro. Es muy difícil.

Answer 1

Construir un conjunto con exactamente un punto límite y, a continuación, agregue dos copias de la misma; permítanme ser más claro: usted seguramente va a estar de acuerdo con el hecho de que $\{0\} \cup \{{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} ^{*}}\}$ sólo tiene un punto límite. Por lo tanto, si queremos repetir dos veces una traducción que vamos a obtener lo que estamos buscando: $(\{0\} \cup \{{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} ^{*}}\}) \sqcup (\{2\} \cup \{{\frac{1}{n}+2 : n \in \mathbb{N} ^{*}}\}) \sqcup (\{4\} \cup \{{\frac{1}{n} +4: n \in \mathbb{N} ^{*}}\})$.

Answer 2

Tomar una secuencia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ convergentes a $0$, otra secuencia $\{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ convergentes a $\frac{1}{2}$, y otra secuencia $\{ c_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ convergentes a $1$. Luego tomar el conjunto $$ S := \{ a_n,b_n,c_n; n \in \mathbb{N} \} $$ a su unión. Por definición, $0,\frac{1}{2}$ $1$ será el límite de puntos. Por ejemplo, usted puede dejar $a_n := \frac{1}{n}$, $b_n := \frac{1}{2} - \frac{1}{2^n}$, $c_n := 1 - \frac{1}{n!}$. Esta elección también se ajusta a su deseo de que $S \subseteq [0,1]$.

Answer 3

Sugerencia: ¿cuáles son el límite de puntos de $\left\{\frac{1}{n}\middle|\ n\in \mathbb{N}\right\}$?

Answer 4

Deje $$A=\left\{\frac ab\;\bigg|\; a,b\in\mathbb N, a=1\text{ or }a=b-1\text{ or }b=2a\pm1\right\}$$