Pregunta relativa a la media aritmética de la función phi de Euler:

Question

Deje que $\varphi (n)$ denotan la función phi de Euler. Si dejamos $$\sum_ {n \leq x} \varphi (n) = \frac {3}{ \pi ^2}x^2+R(x),$$ entonces no es difícil mostrar que $R(x)=O(x \log x)$ . ¿Cuál es el destino más conocido para $R(x)$ asumiendo la Hipótesis de Riemann?

Answer 1

Hay información en la página 68 del libro de Montgomery y Vaughan, y también en la página 51 de "Introducción a la teoría de números analítica y probabilística" de Gérald Tenenbaum. Brevemente, Montgomery ha establecido que

$$\limsup_ {x \rightarrow + \infty } \frac {R(x)}{x \sqrt { \log\log (x)}} > 0$$

y de manera similar con el límite inferior. Así que sólo hay un modesto margen de mejora. Desafortunadamente no puedo encontrar ninguna referencia a un límite superior condicional en RH. En la página 40 Tenenbaum tiene una referencia a la página 144 del libro de Walfisz sobre sumas exponenciales. Walfisz utiliza el método de Vinogradov para mostrar que

$$R(x) = O \left (x \log ^{2/3}(x)( \log\log (x))^{4/3} \right ).$$

No tengo una copia del libro de Walfisz, así que no tengo más detalles.