Local vs global en la definición de una gavilla

Question

Disculpas de antemano que esta pregunta es ineludiblemente suave. Lo que estoy atascado en es blanda; tengo la sensación de que, si yo pudiera hacer que sea preciso, me gustaría estar ya satisfecho.

¿Hasta qué punto es una gavilla determinado por sus tallos? Hay información global sobre la gavilla de la ocultación en los tallos?

Esta es la historia de lo que me molesta. Una de las primeras cosas que he aprendido sobre las poleas fue el sheafification de un presheaf. Lo que yo pienso acerca de la sheafification es que es el único gavilla con los tallos dictada por la presehaf. Por lo tanto el principio me empezó a pensar en una gavilla como un objeto que está determinado por la información local. Hay la advertencia de que las secciones de la gavilla debe venir de encolado gérmenes juntos "compatibilidad", lo que implica que los tallos están hablando el uno al otro para decidir lo que la gavilla es, pero "cercanos" puede ser tan pequeño como se quiera, en este contexto, por lo que la gavilla todavía se siente básicamente como un objeto local. (Este párrafo es muy vago; vea a continuación algunas aclaraciones si es necesario.)

Ahora, más recientemente he estado estudiando localmente libre de poleas en los esquemas. Lo que me molesta es que localmente libre de gavillas de un determinado rango no puede ser distinguido por buscar en los tallos, al menos hasta algebraicas isomorfismo. Por ejemplo, si $\mathscr{L}$ es invertible gavilla, también conocido como la línea de paquete, en un esquema de $X$, $\mathscr{L}_p = \mathcal{O}_{X,p}$ por cada $p\in X$, por lo que diferentes invertible poleas en $X$ no son distinguidos por sus tallos. Ellos se distinguen por la forma en que los parches de un local de la trivialización del paquete que se pegan, que es una consideración global.

A la luz del último párrafo, ¿cómo sucede esto?

Es que el requisito de que "cerca de los gérmenes se pegan de forma compatible" para hacer secciones permite que toda esta información sea almacenada en una manera local? Si es así, ¿cómo? O es el argumento en el párrafo anterior que las poleas están determinados por la información local fundamentalmente equivocado, en cuyo caso lo que me estoy perdiendo?

Cualquier cosa que usted podría decirme que me ayudan a pensar con claridad sobre esta situación sería muy apreciada.

Apéndices (se puede ignorar, pero los pensamientos son bienvenidos)

Aclaración: permítanme hacer explícito lo que me refiero en el párrafo anterior acerca de sheafification. Mi definición de la sheafification viene de Hartshorne: vamos a $\mathscr{F}$ ser un presheaf en un espacio topológico $X$ y deje $U$ ser un subconjunto de a $X$. Las secciones de la sheafification de $\mathscr{F}$ $U$ funciones $f:U\rightarrow\coprod_{p\in U}\mathscr{F}_p$ tal que para todo $p\in U$, (1) $f(p)\in\mathscr{F}_p$ y (2) existe abra $V\subset U$ contiene $p$ $g\in \mathscr{F}(V)$ tal que $f(q)$ es igual a $g$'s germen en $\mathscr{F}_q$ todos los $q\in V$. La condición (2), acerca de la existencia de $V$, es lo que quiero decir por "secciones vienen de encolado gérmenes juntos de la compatibilidad." Lo que quiero decir por "cerca-ness puede ser tan pequeño como se quiera", fue el hecho de que $V$ es arbitraria (es decir, arbitrariamente pequeño) abrir barrio de $p$.

Más pensamientos:

La discusión anterior trajo a la mente la monodromy teorema de análisis complejo: el germen de una analítica de la función en un solo punto en un simplemente se conecta la región de $\mathbb{C}$ determina la función en el conjunto de la región. Sin embargo, con más de pensamiento, siento como que no puede ser algo como esto que está pasando: vamos a $X$ ser un topológico colector y deje $S,T$ dos haces de fibras en $X$ con fibras individuales homeomórficos pero que no son isomorfos a nivel mundial. A continuación, las poleas de las secciones debe tener isomorfo tallos, ¿verdad? Pero ahora no hay una "rigidez" resultado análogo a la monodromy teorema o cualquier cosa que pueda suceder con algebraica de vectores del paquete: si $p\in X$ $U$ es cualquier barrio de $p$, no importa cuán pequeño, el germen de una sección a $p$ no va a determinar la sección en cualquier lugar fuera de $U$. Me parece que este libre de los tallos de las poleas de las secciones de enmeshment con ninguna, pero sus vecinos más cercanos. Aún así, los paquetes serán distinguidos por estas poleas! Por lo que el global de la información contenida en las poleas no puede venir de algún tipo de rigidez teorema como el monodromy teorema o algún tipo algebraico de la rigidez.

Un pensamiento final: me ha impulsado a publicar esta pregunta, porque me quedé pegado en el paso (2) mientras me da el siguiente ejercicio: (1) darse cuenta de $\mathcal{O}(1)$ como la gavilla de las secciones de un vector algebraico paquete, se describe explícitamente con un encolado de la construcción, como hice en la anterior pregunta; (2) el uso de esta descripción explícita para calcular igualmente descripción explícita de su doble gavilla. Sigo pegado porque no he sido capaz de ver cómo utilizar el pegado de información al escribir el doble. Tengo la esperanza de que las respuestas a esta pregunta se va a llevar a una aclaración de mi pensamiento que me permitirá conseguir más allá de este atascado punto para mí, pero si no puedo hacer un seguimiento de la pregunta.

Answer 1

Las poleas son dadas por el local de datos, sí, pero este local de datos es no sólo codificados en los tallos. Como ya se ha indicado en el comentario de Jared y la respuesta por Qiaochu, incluso en la cuestión (sección acerca de la línea de paquetes), los tallos no son suficientes para entender una gavilla. Más allá de los ejemplos, hay varias maneras de hacer la diferencia explícita:

Una de las definiciones clásicas de una gavilla es a través de étale espacios. Si $X$ es un espacio topológico, entonces un étale espacio de más de $X$ es sólo un mapa continuo $p : Y \to X$ que es un local homeomorphism. La correspondiente gavilla en el sentido usual de la palabra es la gavilla de las secciones de $p$. El tallo en un punto de $x \in X$ es sólo la fibra $p^{-1}(x)$. Las fibras de $p$ determinar el conjunto de $Y$, pero no de su topología.

Si $F,G$ son poleas en un espacio de $X$ (o, equivalentemente, étale espacios si te gusta), luego de una familia de mapas de los tallos $F_x \to G_x$ ($x \in X$) viene de una (única!) homomorphism de poleas $F \to G$ iff la siguiente condición de continuidad se tiene: Para cada sección de $s \in F(U)$ hay algunos que cubren $U=\cup_i U_i$ de manera tal que en cada una de las $U_i$ hay alguna sección de $t \in G(U_i)$ tal que $F_x \to G_x$ mapas de $s_x \mapsto t_x$ todos los $x \in U_i$.

Answer 2

No entiendo la pregunta. Considerar localmente constante de poleas, que son las poleas de las secciones de cubrir los espacios. Con una agradable ruta de acceso conectados a la base, estas corresponden al grupo de las acciones de grupo fundamental de la base. Los tallos de esta gavilla de dar muy poca información: si la cobertura que el espacio es también la ruta de acceso conectado, usted tiene un transitiva grupo de acción, y mirando los tallos sólo le dice que su cardinalidad. Para conseguir el resto de los datos que usted necesita para mirar monodromy, que no es un local de la cosa.