Donde puedo encontrar el más directo y el más sencillo de presentación de lo que geodesics en un (complejo) Grassmannian parece? Yo sé cómo hacerlo desde cero, pero si quiero, puedo proporcionar una referencia para, por ejemplo, un estudiante de postgrado en EE que no quiere tratar con cualquier innecesarios matemáticos abstractos de la maquinaria, ¿qué debo punto de él?
Respuestas
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Grassmanians son simétricas espacios, y simétrica espacios son "geodésico de la órbita de los espacios", es decir, su geodesics son las órbitas de los de su grupo de isometrías. Su Grassmanians, en particular, son de la forma $SU(p+q)/SU(p)\times SU(q)$. Si $g$ es el álgebra de Lie del grupo grande y $h\subseteq g$ la Mentira de álgebra del subgrupo, entonces hay un $SU(p)\times SU(q)$-invariante complementar $p$$h$$g$. El geodesics son las órbitas de los $1$-parámetro subgrupos de $SU(p+q)$ cuya tangente vectores están en $p$.
Así que para calcular el geodesics, sólo necesita encontrar que complementan $p$ y calcular exponenciales...
runeh
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Esta es una variación en el 1er respuesta, pero me parece más sencillo y lo han explicado a EE estudiantes. Considerar el mapa de $U(n) \to Gr(k,n)$ desde el grupo unitario a el Grassmannian por $g \mapsto gx_0$, $x_0$ elegido `punto de partida'. Poner la bi-invariante de la métrica en el grupo unitario $U(n)$. La métrica en $Gr(k,n)$ se define de manera que este mapa es una de Riemann de la inmersión: el complemento ortogonal a la fibra es linealmente isométrica a la base del espacio de la tangente. Como tal, geodesics en $U(n)$ que son ORTOGONALES PARA EL proyecto de FIBRA óptica en geodesics en el Grassmannian. Y todos geodesics en el Grassmannian surgir de esta manera. Ahora uso que geodesics en el grupo Unitario son todos de la forma $g_0 exp(t \xi)$ - se traduce de un parámetro subgrupos, y el trabajo lo que esto significa , relativa a $\xi$ para la línea geodésica para que sea tangente a la fibra en el caso $g_0 = Id.$
Schof
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El complejo Grassmannian SU(n)/S(U(k) * SU(n-k)) siendo un Hermitian simétrica espacio goza de la propiedad de que su geodesics (en el estándar de Kaehler métrica) son homogéneas, es decir, generado por la acción de un parámetro del subgrupo SU(n). En la siguiente referencia es una construcción explícita de este mapa en el afín de coordenadas.
http://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/bul972/berceanu1.pdf
Actualización:
Otro método para el cálculo de la geodesics en simétrica espacios es a través de la solución de la parte radial de la de Hamilton-Jacobi ecuación. En el caso de los complejos Grassmannian, depende min(k, n-k) coordina y sólo depende de la restricción de las raíces de la simetría del espacio y su multiplicidad (ver, Helgason: Grupos y geométricas análisis de las definiciones de las coordenadas radiales y la radial operadores diferenciales).
John Topley
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Esta respuesta es un poco redundante con las otras dos respuestas dadas hasta el momento, pero aquí va de todos modos.
Es más fácil describir el real Grassmannian caso. Podemos mirar el Grassmannian $\text{Gr}(n,k)$, y supongamos que $2k \le n$; si no, entonces usted puede pasar al contrario Grassmannian. Si $V$ $W$ dos $k$-planos en $\mathbb{R}^n$, entonces hay un conjunto de $k$ 2-planos dimensionales que son perpendiculares uno al otro y cada uno se cruzan $V$ $W$ en una línea. Llame a los ángulos entre las líneas $\theta_1,\ldots,\theta_k$. A continuación, en la conexión geodésica $V_t$$V_0 = W$$V_1 = V$, los ángulos son en lugar de $t\theta_1,\ldots,t\theta_k$. Esta es una descripción explícita de que es básicamente equivalente a la de Mariano comentario acerca de las invariantes que la complementa.
El complejo versión tiene el mismo sistema de ángulos, pero complexified líneas, 2-planos y $k$-planos. El "ángulo" entre dos líneas en un 2-plano puede ser definida como la geométrica ángulo entre sus laderas se trazan en la esfera de Riemann. En realidad estos ángulos son dos veces tan grande como la de los ángulos en el caso real en el párrafo anterior, pero que no hace ninguna diferencia.
Yo era vago en las posiciones de los aviones. La proyección ortogonal de a $V$ a $W$ tiene una descomposición de valor singular, y los valores singulares de se $\cos \theta_1,\ldots,\cos \theta_n$. La proyección ortogonal de la otra manera es la transpuesta, o Hermitian transponer en el caso complejo, por lo que tiene los mismos valores propios. Los correspondientes vectores singulares son las líneas de $V \cap P_k$$W \cap P_k$. Así que el trabajo explícito de encontrar la línea geodésica viene de la solución de un valor singular problema, o, equivalentemente, un autovalor problema.
wildchild
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Tener una mirada en el papel:
- Y.~A. Neretin: En Jordania ángulos y el triángulo de la desigualdad en Grassmann colector}, Geometriae Dedicata, 86 (2001).
Hay fórmulas explícitas para geodesics e incluso para la distancia geodésica en real Grassmannians. Esto se vincula con Greg Kuperberg la respuesta.
