¿Por qué si $f'$ no tiene límites, entonces $f$ no es uniformemente continua?

Question

He $I = [0 ,+\infty)\,$ y $f: I \rightarrow \Bbb R.$

a. He demostrado que si $f'$ está acotado en $I$ entonces $f$ es uniformemente continua en $I$ .
b. He demostrado que si $\lim f' = \infty$ (con $x \rightarrow +\infty$ ) entonces $f$ no es uniformemente continua en $I$ .

c. Ahora debería demostrar que si $f'$ no tiene límites en $I,$ entonces no es uniformemente continua en $I$ .
Utilizando b He demostrado que si c está mal, hay un segemento $T = [0, t]$ donde $f'$ no tiene límites.

Añadido: el también conocido que $f'$ existe en cada punto de $I.$

Answer 1

Como sugirió @Kannappan, aquí está mi comentario anterior, ampliado en una respuesta.

La afirmación c) no es correcta, ni siquiera para intervalos acotados. Es decir, toda función diferenciable en un intervalo cerrado y acotado es continua y, por tanto, automáticamente continua uniforme en él, incluso si su derivada no está acotada (lo que, por supuesto, es posible). Un ejemplo para este último caso (diferenciable en todas partes, derivada no acotada en un intervalo acotado y cerrado) es $$ f(x) = \begin{cases} x^{3/2} \sin \frac{1}{x} (0 < x \le 1) \\ 0 (x = 0) \end{cases} $$ Para el caso $I = [0,\infty)$ un contraejemplo viene dado por $g(x) = f(\frac{x}{1+x})$ donde $f$ se define como arriba.

Answer 2

La afirmación c. no es cierta en general. Aportaré un ejemplo en $[\,0,+\infty)$ como pide el OP. Deja que $g\colon[\,0,+\infty)\to\mathbb{R}$ se definirá de la siguiente manera. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , $g$ es lineal a trozos en el intervalo $$\Bigl[\,2^n-\dfrac{1}{n\,2^n},2^n+\dfrac{1}{n\,2^n}\,\Bigr]$$ y $$ g\Bigl(2^n-\frac{1}{n2^n}\Bigr)=g\Bigl(2\,^n-\dfrac{1}{n2^n}\Bigr)=0,\quad g(2^n)=n. $$ Fuera de esos intervalos, $g$ es igual a cero. Sea $f(x)=\int_0^xg(t)\,dt$ . Entonces $f$ está aumentando y $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1$ . Esto implica que $f$ es uniformemente continua en $[\,0,+\infty)$ pero $f'=g$ no tiene límites.

Answer 3

Esta afirmación es errónea, como sugiere la respuesta del profesor Aguirre. Doy un ejemplo en el caso de un conjunto ni cerrado ni abierto. Se sabe que es falso incluso en general como sugiere la otra respuesta.

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Parece que lo afirmas:

Si una función $f$ tiene una derivada ilimitada, esto no significa que $f$ no es uniformemente continua.

Esta afirmación es errónea. He aquí un contraejemplo.

Considere $f:(0,1] \to \mathbb R$ definido por $f(x)=\sqrt x$ . Te dejo que demuestres que $f'$ la derivada de $f$ no tiene límites en $(0,1]$ pero $f$ es uniformemente continua en $(0,1]$ .

Conclusión:

Lo que sí es cierto es que hay funciones con derivadas no limitadas pero uniformemente continuas.

Answer 4

Una de las cosas que se plantean aquí es que, aunque la derivada sea grande, si no tiene un intervalo suficientemente grande sobre el que trabajar, no siempre tiene la oportunidad de crear un gran aumento de $y$ -valores.

Por ejemplo, considere $x^{1/3}$ cerca del origen y el intervalo $[0,\delta]$ . No importa lo cerca que esté un positivo $x$ es $0$ el cambio máximo posible depende completamente del valor $\delta$ .