¿Cómo probar que $f(x)=x^{x^x}$ está aumentando terminantemente sin calcular la derivada?

Question

¿Cómo probar que $f:(0,\infty )\to\mathbb R$ definidas en $f(x)=x^{(x^x)}$ está aumentando terminantemente sin calcular la derivada?

Answer 1

Deje $0<x<1<y<z$. Entonces $$ x^{x^x} < x^0 = 1 = y^0 < y^{y^y} < z^{y^y} < z^{z^z} $$ por lo $f(x)$ es monótonamente creciente en $[1,\infty)$.

Desde $f(x)$ es continuamente diferenciable en a $(0,1)$, o sea es monótona en el intervalo o de no existir $w,x\in (0,1)$$w<x$$f(w)=f(x)$. Supongamos que esa posibilidad existe y vamos a $$ a = \frac{\log w}{\log x} > 1, \quad w = x^a \\ w^{w^w} = x^{x^x} \\ ax^{ax^a} \log x = x^x \log x \\ \log a + ax^a\log x = x\log x \\ \log a = x \log x (1-ax^{- 1}) $$ Desde $x>0$ $\log x < 0 < \log a$ debemos tener $$ ax^{- 1}>1 \\ (1-a) \log x < \log \\ (1-a) \log x < x(1-ax^{- 1}) \log x \\ a-1 < x(ax^{- 1}-1) $$ a continuación, cualquiera de $ax^{a-1}-1<0$ o $x(ax^{a-1}-1)<ax^{a-1}-1<a-1$, de cualquier manera que conduce a una contradicción. Por lo tanto no puede existir la elección de $w,x$. Por lo tanto $f(x)$ debe ser monótono en $(0,1)$, y es fácil comprobar que la dirección está en aumento en el $x$.

Answer 2

Quiere demostrar que $\forall\,x_{1},x_{2}\in\mathbb{R},x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$. Aras de la simplicidad que investigar el caso $1<x_{1}<x_{2}$. Entonces tenemos $$x_{1}^{x_{1}}<x_{2}^{x_{1}}<x_{2}^{x_{2}}$$ and finally $% $ $x_{1}^{x_{1}^{x_{1}}}<x_{1}^{x_{2}^{x_{2}}}<x_{2}^{x_{2}^{x_{2}}}$usted puede discutir las otras posibilidades aplicando propiedades de potenciación adecuada.