Que $A$ ser una matriz real de $n× n$ $A^2 = A^T$. Mostrar que cada valor propio real de $A$ es o $0$ o $1$.

Question

Que $A$ ser una matriz real de $n×n$ $A^2 = A^T$. Mostrar que cada valor propio real de $A$ es o $0$ o $1$.

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Mis pensamientos:

$A^2 = A^T$
$\implies$ $A.A=A^T$
$\implies$$(A.A)^T=A$
$\implies$ $A^TA^T=A$
$\implies$$A^2A^2=A$
$\implies$ $A^4-A=0$ .
así que la verdadera raíz de la ecuación de $x^4-x=0$ $0$ & $1$.
¿Estoy correcto?

Answer 1

$A^2 = A^T$
$\implies$ $A.A=A^T$
$\implies$$(A.A)^T=A$
$\implies$ $A^TA^T=A$
$\implies$$A^2A^2=A$
$\implies$ $A^4-A=0$ .
así que la verdadera raíz de la ecuación de $x^4-x=0$ $0$ & $1$.

Answer 2

Como se ha señalado por julien en su comentario, vas en la dirección correcta. Como $x^4-x$ es un aniquilador polinomio de $A$ si $A$ tiene un autovalor real $\lambda$, $\lambda$ debe ser una raíz real de $x^4-x$. Por lo tanto $\lambda=0$ o $1$.

Alternativamente, usted puede probar la siguiente declaración. Deje $(\lambda,v)$ ser un eigenpair de $A$. Por supuesto, tenemos $v^TA^2v = v^TA^Tv$. Sin embargo, desde la $A^2v=A(Av)=\lambda^2 v$$v^TA^T=(Av)^T=\lambda v^T$, la ecuación anterior implica que $\lambda^2 v^Tv=\lambda v^Tv$. Como $v$ es un autovector, $v^Tv=\|v\|^2\neq0$. Por lo tanto $\lambda^2=\lambda$, es decir, $\lambda=0$ o $1$.

Answer 3

Decir valor eigen de $A$ es $\lambda_i$.
Sabemos que Value($A$) Eigen = value($A^T$) Eigen.
Son un valor Eigen de $A^2$ $\lambda_i^2$.
Ahora, la comparación valor eigen de $A^T$ y $A^2$