Las diferencias entre $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$y $\mathbb{R}$

Question

Los cosets de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ son todos los conjuntos de la forma$a+\mathbb{Z}$, $0 ≤ a < 1$ un número real. La adición de tales cosets se realiza mediante la adición de los correspondientes números reales, y restando 1 si el resultado es mayor o igual a 1. -- Ejemplos de Cociente Grupo, Wiki

No puedo averiguar las diferencias entre el$\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$$\mathbb{R}$. Además, "restando 1 si el resultado es mayor o igual a 1", ¿qué significa "el resultado" significa aquí? ¿Por qué tenemos que restar 1? Me preguntaba ¿qué es el fondo de $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$.

Answer 1

Los elementos de $\mathbb{R}$ son números reales. Los elementos de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ son conjuntos de números reales, de a pares distintos, donde cada conjunto contiene reales de los que se diferencian unas de otras por entero distancias, y el conjunto que contiene todos los reales que difieren de los reales en el conjunto entero de las distancias.

Así que uno de los elementos de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es $$\{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$ Otro elemento de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es $$\{\ldots, \pi-3, \pi-2, \pi-1, \pi, \pi+1, \pi+2,\ldots\}$$ y así sucesivamente. Cada número real es en un solo y único de los elementos de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (que, recordemos, son conjuntos de números reales).

(Los elementos de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ son las clases de equivalencia de los números reales en virtud de la relación de equivalencia "$x\sim y$ si y sólo si $x-y\in\mathbb{Z}$").

Ahora, el conjunto $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ puede realizarse dentro de un grupo; es decir, podemos definir una "incorporación de las clases". Una manera de definir esta "incorporación de las clases" es para darle un "nombre" a cada elemento de a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Desde cada uno de los conjuntos contiene uno, y sólo uno, un número real en $[0,1)$, vamos a representar el conjunto que contiene el número real $r\in[0,1)$ escrito $[r]$. Así que el primer conjunto escribí anteriormente se llama $[0]$, el segundo conjunto escribí anteriormente se llama $[\pi-3]$, y así sucesivamente.

(Añadido. Dado un número real, ¿cómo se puede saber ¿qué elemento de la $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es en? Recuerde que $\lfloor x\rfloor$ se define como el entero más grande $n$ tal que $n\leq x$. La "parte fraccionaria de $x$" se define a ser $ x-\lfloor x\rfloor$. No es difícil comprobar que $x\in[x-\lfloor x\rfloor]$.)

Ahora que cada conjunto tiene un nombre, podemos definir la incorporación de las clases. La manera en la que vamos a definir, además de (que voy a escribir $\oplus$ a distinguir el formulario de la adición de números reales) es la siguiente: si $[r]$ $[s]$ son de dos clases, a continuación, $[r]\oplus [s]$ es: $$[r]\oplus [s] = \left\{\begin{array}{ll} \ [r+s] &\text{if }0\leq r+s\lt 1\\ \ [r+s-1] &\text{if }1\leq r+s. \end{array}\right.$$ Debido a $0\leq r,s\lt 1$,$0\leq r+s\lt 2$, por lo que una y sólo una de esas situaciones se suceden, y el resultado siempre será un "buen nombre" de un elemento de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (es decir, la respuesta es de la forma$[a]$$0\leq a\lt 1$).

Entonces uno puede mostrar que esto hace que $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ dentro de un grupo.

Cuál es el texto que se cita está haciendo es que está escrito, "$r+\mathbb{Z}$ " donde escribí "$[r]$" de arriba. La razón es que esta es la notación estándar la hora de realizar el tipo de construcción que se está discutiendo. Esto está cubierto en cualquier libro de álgebra abstracta que describe los grupos.

Answer 2

Escribí algunas palabras acerca de la estructura algebraica en $\mathbf R/\mathbf Z$, pero creo que ha sido tratado muy bien en las otras respuestas. Por las etiquetas creo que también deberíamos hablar de la topológico y analítica de los aspectos de este grupo, así que aquí es un primer paso en esa dirección. Ciertamente, yo deseo que yo sabía más acerca de esto.

$\mathbf R/\mathbf Z$ es a menudo llamado el círculo de grupo, porque si vemos la $S^1$ como acostado dentro del plano complejo, entonces el mapa $F\colon\mathbf R \to S^1$, $F(x) = e^{2\pi ix}$ induce un bijection $\mathbf R/\mathbf Z \to S^1$ que es un isomorfismo de grupos y un homeomorphism de espacios topológicos (si ponemos el cociente de la topología en $\mathbf R/\mathbf Z$); en particular, $\mathbf R/\mathbf Z$ es, naturalmente, un espacio compacto.

$\mathbf R/\mathbf Z$ es un buen hogar para funciones periódicas, ya que si $f\colon \mathbf R \to \mathbf R$ es tal que $f(x + n) = f(x)$ todos los $x \in \mathbf R$$n \in \mathbf Z$, $f$ desciende a un mapa de $\mathbf R/\mathbf Z \to \mathbf R$. Por otra parte, la dualidad de Pontryagin dice que el análisis de Fourier en el círculo está relacionado con las funciones de un cierto "dual grupo", y el dual del grupo del círculo es $\mathbf Z$, que es discreto! Por otro lado, $\mathbf R$ es su propio doble.

Como para los operadores diferenciales, que es un tema muy amplio y sólo puedo esbozar la situación y dar Wiki referencias. Uno puede ver a $\partial/\partial x$ como un campo vectorial en $\mathbf R$. Cada una de las $a \in \mathbf R$ induce una traducción diffeomorphism $L_a\colon \mathbf R \to \mathbf R$, $L_a(x) = x + a$, y el campo de $\partial/\partial x$ se llama izquierda-invariante si es que ha cambiado en la correspondiente pushforwards: $L_{a*}(\partial/\partial x) = \partial/\partial x$.

En general, dada una suave mapa de colectores $F\colon N \to M$ un campo de vectores en $N$ puede no corresponder a un campo de vectores en $M$. Pero se puede comprobar que en este caso podemos definir un campo de vectores en $S^1$, lo que la gente suele llamar a $\partial/\partial\theta$,$(\partial/\partial\theta)_{F(P)} = F_*(\partial/\partial x)_P$.

Answer 3

Una diferencia entre ${\bf R}/{\bf Z}$y $\bf R$ es que %#% $ #% en el anterior pero no en éste.

EDIT: Tal vez sería más exacto escribir $${1\over2}+{1\over2}=0$$$\left({1\over2}+{\bf Z}\right)+\left({1\over2}+{\bf Z}\right)=0+{\bf Z}$% $ $ but $

Tal vez incluso mejor simplemente a decir que si ${1\over2}+{1\over2}\ne0$ es el elemento identidad en $x+x$ $\bf Z$ sí mismo es el elemento identidad de $x$, pero en $\bf Z$ allí es una ${\bf R}/{\bf Z}$ distintos de la identidad que $x$ es la identidad.

Answer 4

Cada número real tiene dos partes: una parte entera y una parte decimal. En otras palabras, podemos escribir todas las $x \in \mathbb{R}$ como una suma de elementos $n_{x} \in \mathbb{Z}$$u_{x} \in [0,1]$. Vamos a escribir $x = n_{x} + u_{x}$. Ahora, podemos usar esta opción para definir una relación de equivalencia en $\mathbb{R}$: decimos que $x \equiv y$ si $u_{x} = u_{y}$, de modo que su parte decimal es la misma. Para un elemento dado $x \in \mathbb{R}$, la equivalencia de la clase $[x]$ es sólo $u_{x} + \mathbb{Z}$.

El cociente grupo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ surge por "colapso" conjunto de estas clases de equivalencia. Nos quedamos, entonces, con algo parecido a la unidad de intervalo de $[0,1]$, como el resto de $\mathbb{R}$ es de turnos de la unidad de intervalo de $\mathbb{Z}$. Sin embargo, desde la $0$ $1$ tienen la misma decimal de expansión, que son iguales entre sí. Lo que tenemos, topológicamente, es una recta con los extremos atados juntos: un círculo. Por lo tanto $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^{1}$, y por lo tanto es compacto.

Por otra parte, tenemos que ser cuidadosos en la adición de clases de equivalencia. Claramente, $[0.25] + [0.25] = [0.5]$. Sin embargo, $[0.75] + [0.75] = [1.5]$. Ya estamos trabajando con la unidad de intervalo, restamos uno, para conseguir $[0.5]$. La clase de equivalencia es la misma, sólo que ahora estamos representando por un elemento de a $[0,1)$.

Answer 5

$(a+\mathbb Z)+(b+\mathbb Z)$ encuentra añadiendo $a$ y $b$, el resultado es $a+b$. Si $a+b<1$, entonces el $(a+\mathbb Z)+(b+\mathbb Z)=(a+b)+\mathbb Z$. Si $a+b\geq 1$, entonces el $(a+\mathbb Z)+(b+\mathbb Z)=(a+b-1)+\mathbb Z$.

Pero esto es sólo si usted sigue el indicado Convenio de listado sólo representantes de $[0,1)$. El hecho es, $(a+b)+\mathbb Z$ y $(a+b-1)+\mathbb Z$ son diferentes nombres para el mismo conjunto exacto, por lo que realmente no necesita para restar el $1$.