Límite de $\frac{f\left(x+g\left(x\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{x}$ cuando $x\to 0$

Question

Estoy tratando de responder la siguiente pregunta:

Sea $f$ continuamente diferenciable en todo $\mathbb{R}$ y sea $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función que satisface $\lim_{x\to0}g\left(x\right)=0$. Demostrar que $$\lim_{x\to0} \frac{f\left(x+g\left(x\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{x}=f'(0)$$

Al principio pensé que sería una simple desigualdad triangular a partir de la definición de límite, pero no me funciona...

Sea $\epsilon>0$, podemos encontrar $\delta$ tal que $$\left|x\right|<\delta\implies\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}-f'\left(0\right)\right|<\frac{\epsilon}{2}$$ Pero como $g\left(x\right)\to0$ podemos encontrar $\delta_{g}$ tal que

$$\left|x\right|<\delta_{g}\implies\left|g\left(x\right)\right|<\frac{\delta}{2}$$

Por lo tanto, para $\left|x\right|<\min\left\{ \delta_{g},\frac{\delta}{2}\right\}$ tenemos que $x+g\left(x\right)<\delta$, y

$$\left|\frac{f\left(x+g\left(x\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{x}-f'\left(0\right)\right|=\left|\frac{f\left(x+g\left(x\right)\right)-f\left(0\right)+f\left(0\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{x}-f'\left(0\right)\right|$$

¿Alguna dirección?

Answer 1

Dado que $f(x)$ es $C^1$, puedes usar el teorema del valor medio. Es decir, $$\frac{f\left(x+g\left(x\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{x} = f'(h(x))$$ Aquí $h(x)$ está entre $g(x)$ y $x + g(x)$. Ten en cuenta que a medida que $x$ tiende a cero, también lo hace $h(x)$. Entonces, dado que $f'$ es continua, a medida que $x$ tiende a cero, $f'(h(x))$ tiende a $f'(0)$, y así tienes $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x+g\left(x\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{x} = f'(0)$$

Answer 2

El teorema de Taylor es a menudo una herramienta útil en este sentido.

El teorema de Taylor da $f(z) = f(y) + f'(y)(z-y) + \int_y^z (f'(t)-f'(y))dt$, y por lo tanto, para $x \neq 0$ \begin{eqnarray} {f(x+g(x)) -f(g(x)) \over x} -f'(0) &=& { f'(g(x)) x + \int_{g(x)}^{x+g(x)} (f'(t)-f'(g(x)))dt\over x}-f'(0) \\ &=& f'(g(x))-f'(0)+ { \int_{g(x)}^{x+g(x)} (f'(t)-f'(g(x)))dt\over x} \end{eqnarray}

Sea $\epsilon>0$ y elija $r>$ tal que $|f'(x)-f'(0)| < \epsilon $ para $x\in B(0,r)$. Ahora elija $\delta \le r$ tal que $|g(x)| < r $ para $|x| < \delta$.

Entonces lo anterior da \begin{eqnarray} \left|{f(x+g(x)) -f(g(x)) \over x} -f'(0) \right| &\le& |f'(g(x))-f'(0)|+ | { \int_{g(x)}^{x+g(x)} (f'(t)-f'(g(x)))dt\over x} | \\ &\le& \epsilon + { \int_{g(x)}^{x+g(x)} |f'(t)-f'(g(x))|dt\over x} \\ &\le& \epsilon + \epsilon { \int_{g(x)}^{x+g(x)} dt\over x} \\ &=& 2 \epsilon \end{eqnarray}

Por lo tanto, tenemos el resultado deseado.

Answer 3

Si usamos la regla de la cadena y expansiones de Taylor en $x=0$ $$f(x+g(x))=f(g(0)\big)+x \left(g'(0) f'(g(0))+f'(g(0))\right)+O\left(x^2\right)$$ $$f(g(x))=f(g(0))+x g'(0) f'(g(0))+O\left(x^2\right)$$ $$f(x+g(x))-f(g(x))=x f'(g(0))+O\left(x^2\right)$$ Ahora, dado que $\lim_{x\to0}g\left(x\right)=0$, entonces el resultado.