¿Por qué tratamos $\mathrm{d}x$ en la integral indefinida como si $f(x)$ se multiplicaron por ella?

Question

La primera explicación que escuché para el $\mathrm{d}x$ - sólo muestra por qué variable estamos integrando. Lo cual tiene sentido porque $(F(x)+C)^\prime=f(x)$ no $f(x)\mathrm{d}x$ . Ahora, algún tiempo después, el $\mathrm{d}x$ ha vuelto a ser una fuente de confusión. Si hay $\int \frac{x}{x^2+1} \mathrm{d}x$ Entonces, ¿por qué podemos resolverlo así? $\int \frac{1}{x^2+1} x \mathrm{d}x= \frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1} 2 x \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d}(x^2+1)$ ? Las otras partes parecen más o menos normales pero la transición de $\int\frac{x}{x^2+1} \mathrm{d}x$ a $\int \frac{1}{x^2+1} x \mathrm{d}x$ parece muy extraño.

Funciona, pero ¿por qué lo hace? Si $\mathrm{d}x$ sólo muestra por qué variable estamos integrando $f(x)$ entonces no podemos tratarlo como si $f(x)$ se multiplicaron por ella. Y por otro lado, si $f(x)$ En realidad se multiplica por $\mathrm{d}x$ entonces, ¿por qué podemos hacerlo? Sé que hay una explicación sencilla cuando calculamos la integral definida, que descomponemos alguna línea o superficie o volumen en trozos infinitamente pequeños y luego sumamos esos trozos infinitamente pequeños para obtener el conjunto, así que tiene sentido.

Pero, ¿por qué tratamos $\mathrm{d}x$ en la integral indefinida como si $f(x)$ se multiplicaron por ella? Gracias.

Answer 1

La verdadera respuesta tendría que ver con niveles de matemáticas más altos que los que has cubierto hasta ahora (como el análisis no estándar, las formas diferenciales y el cálculo exterior $^1$ ) y en este punto probablemente no sería satisfactorio para su comprensión intuitiva. La notación de Leibniz $\frac {d}{dx}$ para la derivada es un abuso muy útil de la notación que nos permite pensar, como has descrito, en una parte "infinitesimal" de algo como si fuera un número real. En el análisis estándar tenemos que trabajar los rigores de una idea tan intuitiva a través de los límites.

Sin embargo, para su ejemplo concreto, lo que realmente está haciendo es una simple "sustitución en u". Estás elaborando la siguiente integral: $$\int \frac x {x^2+1} dx$$ Dejemos que $u=x^2+1$ , $du=2x$ Entonces $$\int \frac x {x^2+1} dx=\frac 1 2 \int \frac 1 u du$$ La única diferencia en su ecuación es que el $x^2+1$ nunca se asignó a una variable temporal como $u$ como en el caso anterior, y en su lugar se escribió como $(x^2+1)$ .

Creo que aquí es donde radica su confusión. El profesor escribió $$\int \frac x {x^2+1} dx= \int \frac 1 {x^2+1} xdx=\frac 1 2 \int \frac 1 {x^2+1} 2xdx=\frac 1 2 \int \frac 1 {x^2+1} d(x^2+1)$$ y usted interpretó esto como si el $2x$ había multiplicado el $dx$ para crear $d(x^2+1)$ . Eso no es lo que ocurrió, y este tipo de confusión es la razón por la que el abuso de la notación $d(x^2+1)$ debe evitarse. En su lugar, siguiendo la sustitución de la u anterior, su profesor sustituyó tácitamente una variable $u=x^2+1$ , lo que da como resultado $du=2xdx$ y luego hizo lo siguiente:

$$\frac 1 2 \int \frac 1 {x^2+1} 2xdx=\frac 1 2 \int \frac 1 u du \qquad \qquad (*)$$

Sin embargo, quizás para ahorrar espacio o tiempo, no asignaron explícitamente una nueva variable a su sustitución, por lo que la escribieron como

$$\frac 1 2 \int \frac 1 {x^2+1} d(x^2+1)$$

Tenga en cuenta que cada $u$ en la ecuación de sustitución que hice anteriormente en $(*)$ se sustituye por $x^2+1$ que es lo que $u$ iguales. Simplemente, tu profesor no ha hecho explícita esta sustitución. En tu trabajo personal, yo evitaría esta práctica: es demasiado fácil cometer un error.

---

$^1$ - Gracias a Zhen Lin por señalar esto.

Answer 2

Como se ha aludido en los comentarios de la respuesta de process91 hay un par de formas de darle algún sentido a la $dx$ .

Una forma es a través de formas diferenciales . El $dx$ se relaciona entonces con un espacio vectorial llamado haz cotangente. El haz cotangente nos da mapas lineales desde el espacio tangente a $\mathbb{R}$ . Aquí $x$ se ve como una función (la identidad en $\mathbb{R}$ ) y $d$ es un operador que toma $x$ a $\frac{dx}{dx}\,dx=1\,dx=dx$ . De hecho $d$ toma cualquier función $f$ a $\frac{df}{dx}\,dx$ . Este $dx$ es entonces la base de un $1$ -espacio vectorial de dimensiones. Pero, entonces notamos que también es la base de un $1$ -dimensional álgebra sobre el conjunto (en realidad anillo ) de funciones continuas. En este sentido, tenemos una especie de $\textit{are}$ multiplicar una función $f(x)$ por $dx$ . En este momento es cuando se puede pensar en $dx$ como decir "integrar con respecto a $x$ ". En otras palabras, integrar con respecto a la función de identidad. Esta es una forma más potente de ver las cosas. Así que me disculpo si este párrafo no ha tenido mucho sentido (mi cerebro todavía se está calentando hoy).

Otra forma de verlo es introducir la noción de medir . Aquí $dx$ se considera que da una noción de longitud a cada intervalo cerrado. De nuevo, $x$ es la función de identidad y encontramos la longitud de $[a,b]$ aplicando la función de identidad a los puntos extremos y restando. Así, la longitud de $[a,b]$ viene dada por $x(b)-x(a)=b-a$ . Aquí es cuando entra en juego el cambio de variables. Supongamos que tengo una función continua no decreciente $f$ . Entonces la longitud de $[a,b]$ se puede hacer que sea $f(b)-f(a)$ . Podemos hablar de integración con respecto a esta nueva versión de la longitud. En la definición de la integral de Riemann tienes límites de sumas finitas donde los valores de las funciones están siendo multiplicados por longitudes de subintervalos. Simplemente cambiamos nuestra antigua versión de la longitud por la nueva en los límites. Ahora, dada cualquier función continua tenemos una integral. La conversión entre ellas es sólo el cambio de variables (o $u$ -sustitución): Si dada una variable continua $f(x)$ entonces $df=f'(x)\, dx$ .