Que $\mathfrak{A}$ es un poset arbitraria.
¿Necesariamente existe un pedido de inclusión de $\mathfrak{A}$ en un enrejado completo $\mathfrak{B}$, que conserva todo suprema y infima definidas en $\mathfrak{A}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta es sí.
En primer lugar, dado cualquier conjunto parcialmente ordenado $P$, siempre hay una completa red que contiene a $P$, por ejemplo, la recopilación de abajo cerrado subconjuntos de a $P$, en virtud de la contención, donde $p\in P$ se identifica con $\{x\in P\mid x\le p\}$.
Pero, de hecho, cualquier poset $\mathcal P=(P,\le)$ admite un mínimo de finalización de la $\mathcal L$, en el sentido de que $\mathcal L$ es un completo entramado que contiene $\mathcal P$, $\mathcal L$ incluye (como un poset) en cualquier completar la red que contiene a $\mathcal P$ (con la incorporación de fijación $P$ pointwise), y $\mathcal L$ conserva todos suprema y infima (incluyendo suprema y infima de los infinitos subconjuntos) ya presente en $P$.
Como con los racionales y los reales, una manera natural de definición de esta mínima de finalización de la $\mathcal L$ $\mathcal P$ es simplemente tomar como $\mathcal L$ la colección de todos los recortes en $\mathcal P$, parcialmente ordenado diciendo que $(A,B)\le(C,D)$ fib $A\subseteq C$.
Aquí, un corte de $\mathcal P$ es un par $(A,B)$ de los subconjuntos de a $P$ tal que $B$ es la colección de los límites superiores de $A$, e $A$ es la colección de los límites inferiores de $B$.
Esta construcción, que generaliza Dedekind la construcción de los reales como los cortes de los racionales, es llamado el Dedekind-MacNeille (o normal) la realización, por primera vez en
Holbrook M. MacNeille. Parcialmente de conjuntos ordenados, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 42 (3), (1937), 416-460. MR1501929,
donde los detalles completos se pueden encontrar.
