Versión corta para gente a la que no le gusta leer:
Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea $1$ -periódica, medible y acotada. ¿Es cierto que, para casi todas $x$ la media de $f(x)$ , $f(x+\frac{1}{n})$ , $f(x+\frac{2}{n})$ , , $f(x-\frac{1}{n})$ tiende a $\int_0^1 f$ cuando $n\to+\infty$ ?
Y ahora una versión más detallada de la pregunta:
Sea $\mathbb{T} := \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ para que las funciones $\mathbb{T}\to\mathbb{R}$ puede identificarse con $1$ -funciones periódicas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .
Si $f\colon\mathbb{T}\to\mathbb{R}$ definimos $\mathscr{M}_n(f)\colon\mathbb{T}\to\mathbb{R}$ por $$(\mathscr{M}_n(f))(x) := \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\!x+\frac{k}{n}\Big)$$ el $n$ -ésima "suma de Riemann" de $f$ es decir, la media de los $n$ traduce de $f$ por $n$ -periodos. Si además $f \in L^1(\mathbb{T})$ definimos $\mathscr{E}(f)\colon\mathbb{T}\to\mathbb{R}$ por $$(\mathscr{E}(f))(x) := \int_{\mathbb{T}} f(t)\,dt$$ (¡función constante!) la integral, es decir, la media global de $f$ .
Les problema general es de qué manera y bajo qué supuestos podemos decir que $\mathscr{M}_n(f) \to \mathscr{E}(f)$ .
Las preguntas precisas están más abajo (al final), pero antes permítanme exponer unas sencillas hechos conocidos relevante para esta situación, que podría ayudar a proporcionar algunos antecedentes:
-
Si $f$ es una función escalonada (donde "función escalonada" significa una combinación lineal de funciones características de intervalos) entonces $|\mathscr{M}_n(f) - \mathscr{E}(f)| \leq \frac{\|f\|_\infty}{n}$ en todas partes. (Esquema de la prueba: si $f = \mathbf{1}_{[0,r/n)}$ con $r\in\mathbb{N}$ entonces, de hecho $\mathscr{M}_n(f) = \mathscr{E}(f)$ y si $f_c = \mathbf{1}_{[0,c)}$ con $\frac{r}{n}\leq c<\frac{r+1}{n}$ entonces $f_{r/n} \leq f_c \leq f_{(r+1)/n}$ en todas partes, de modo que la misma desigualdad se mantiene después de aplicar $\mathscr{M}_n$ es decir, $\frac{r}{n} \leq \mathscr{M}_n(f_c) \leq \frac{r+1}{n}$ de lo que se deduce que $f_c$ y, a continuación, para una función escalonada general mediante la traslación y la toma de combinaciones lineales).
-
Si $f \in L^p(\mathbb{T})$ con $1\leq p<\infty$ entonces $\mathscr{M}_n(f) \to \mathscr{E}(f)$ en $L^p(\mathbb{T})$ . (Se deduce de lo anterior por la densidad de funciones escalonadas en $L^p$ y el hecho de que $\mathscr{M}_n$ y $\mathscr{E}$ tienen norma $1$ .)
-
Si $f$ es Riemann-integrable entonces $\mathscr{M}_n(f) \to \mathscr{E}(f)$ uniformemente en $\mathbb{T}$ . (Bastante obvio utilizando el primer punto y la siguiente definición de funciones R-integrables: para cada $\varepsilon>0$ existe $h$ y $\varphi$ funciones escalonadas tales que $|f-h|\leq\varphi$ en todas partes y $\int\varphi \leq \varepsilon$ .)
-
Si $u_n = n\mathbf{1}_{[0,1/n)}$ entonces $\mathscr{M}_n(f) - \mathscr{E}(f) = \mathscr{M}_n(f - (f*u_n))$ (escrito $*$ para la convolución), y cuando $f$ es medible tenemos $f*u_n \to f$ en casi todas partes (por la existencia de puntos de Lebesgue derechos).
-
Los coeficientes de Fourier de $\mathscr{M}_n(f)$ son los de $f$ a índices múltiplos de $n$ siendo el otro $0$ por lo que convergen puntualmente (es decir, para un idnex dado) a las de $\mathscr{E}(f)$ . Además, si los coeficientes de Fourier de $f$ son $\ell^q$ entonces la convergencia de los coeficientes de Fourier de $\mathscr{M}_n(f)$ a los de $\mathscr{E}(f)$ mantiene en $\ell^q$ .
-
Actualización 2016-02-10: Si $f$ es $L^1(\mathbb{T})$ no es necesariamente el caso que $\mathscr{M}_n(f) \to \mathscr{E}(f)$ casi en todas partes, en cualquier lugar : se trata de un teorema de Marcinkiewicz y Zygmund (" Valores medios de polinomios trigonométricos ", Fondo. Matemáticas. 28 (1937), capítulo II, teorema 3 en p. 157). Su contraejemplo (que es $(-\log|x|)/\sqrt{|x|}$ en $[0,\frac{1}{2}]$ ) no está acotada.
-
Probablemente también merezca la pena mencionar aquí el teorema ergódico de Birkhoff: si $\xi$ es irracional, entonces para todo $f\in L^1(\mathbb{T})$ para casi todos $x$ tenemos $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x+k\xi) \to \mathscr{E}(f)$ .
Por fin aquí están mis preguntas motivado por las lagunas que dejan los hechos anteriores:
Si $f \in L^\infty(\mathbb{T})$ ¿tenemos $\mathscr{M}_n(f) \to \mathscr{E}(f)$ en $L^\infty(\mathbb{T})$ ? Si no, ¿tenemos $\mathscr{M}_n(f) \to \mathscr{E}(f)$ en $L^\infty(\mathbb{T})$ ¿en casi todas partes? [Esta es la "versión corta" al principio de este post].
