Se puede demostrar que el 8 es el más grande de cubo en la secuencia de fibonacci?
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skfd
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Este papel, el uso de algunas de servicio pesado número de la teoría de la maquinaria, muestra que 1, 8, y 144 son el único perfecto poderes en la secuencia de Fibonacci, que en particular implica que 8 es el más grande de cubo. Puede haber una manera más fácil de probar lo de los cubos, sin embargo.
De una forma mucho más accesible el tratamiento, y la historia de el resultado, a ver Andrejic (2006) "Sobre Fibonacci poderes"
Chris Bunch
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Esta es sólo una respuesta parcial, pero: una caracterización de los números de Fibonacci es que un entero $a$ es de Fibonacci si y sólo si $5a^2 \pm 4$ es un cuadrado perfecto.
Debido a esto: la búsqueda de Fibonacci cubos es equivalente a resolver la ecuación de Diophantine(s) $5a^6 \pm 4 = b^2$. Hay técnicas estándar para hacer esto: por ejemplo, en el caso de $5a^6 + 4 = b^2$, la ecuación puede ser reescrita y factorizado como $5a^6 = (b-2)(b+2)$, y con el hecho de que cualquier factor común de $b-2$ y $b+2$ debe dividir entre 4, usted puede obtener una gran cantidad de información de salir de esta situación por mirar el primer factorizations de ambos lados.
En el caso de $5a^6 + 4 = b^2$, usted tiene que pasar a la de Gauss enteros (números de la forma $a+bi$ con $a$ y $b$ ambos enteros) para obtener una factorización: $5a^6 = (b+2i)(b-2i)$. De nuevo, se puede aplicar el mismo enfoque de los enteros de Gauss también han única factorización): va a ser un poco más complicado, pero he visto este tipo de problemas resueltos por el mismo método.
Nadie quiere tratar de llenar este boceto de una prueba?
Edit: de Haber pensado en ello un poco más, yo soy menos optimista. El problema es lidiar con los factores de las 5: los métodos que describo son excelentes para tratar cuestiones como $a^6 \pm 4 = b^2$ o $a^3 \pm 4 = b^2$, pero los argumentos que se descomponen cuando se toma el 5 en cuenta. También, cualquier método que utiliza cualquiera de los factorizations he mencionado también tiene que decir algo acerca de las soluciones a la ecuación de $5a^2 \pm 4 = b^2$: pero sabemos que esta ecuación tiene muchas soluciones (ya que una puede ser cualquier número Fibonacci). Hay otras posibles maneras en que podemos reordenar esta ecuación para el factor de él, pero el análisis de ellos no será fácil.
Sin embargo, reformular esta pregunta como una ecuación de Diophantine es todavía útil. Hay una general y bastante difícil teorema (Siegel Teorema) que cualquier ecuación de Diophantine de género $\ge1$ tiene sólo un número finito de soluciones. Lo que "género" es que es un poco técnico, pero la mayoría de las ecuaciones de grado $\ge3$ tienen esta propiedad, y, en particular, Siegel ecuación se aplica a ecuaciones de la forma $y^2 = P(x)$, donde $P(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $\ge3$ (no repetidos de raíces), que incluye a nuestros dos ecuaciones.
Por lo que podemos deducir de esto que hay sólo un número finito de números de Fibonacci que son cubos. Por desgracia, Siegel resultado no es muy útil para el problema original, ya que no te dan ninguna forma de saber cuándo has encontrado a todos.
Además, sabemos que si tenemos una solución a $5a^6 \pm 4 = b^2$, $c = a^2$ nos da una solución a la ecuación de $5c^3 \pm 4 = b^2$. Esta es la ecuación de una curva elíptica, y hay una buena cantidad conocida acerca de cómo encontrar el número entero de puntos en curvas elípticas (y, más en general, de puntos racionales en curvas elípticas), aunque los cálculos necesarios son generalmente no es divertido para hacer a mano. Alguien sabe lo difícil que sería conseguir una computadora para resolver este problema?
