Difícil: La Convergencia

Question

Esta pregunta está marcado como difícil: tengo una secuencia de funciones continuas $(f_n)$ s.t. $f_n$ converge uniformemente a la continua $F$ $[a,b]$ y una secuencia $(x_k)\subset[a,b]$ s.t. $x_k\to x$. Quiero demostrar que $f_k(x_k)\to F(x)$.

Mis pensamientos:

\begin{align*}\lim_{k\to\infty} [f_k(x_k)-F(x_k)] &= \lim_{k\to\infty} f_k(x_k)-\lim_{k\to\infty} F(x_k)&\\ &= F(\lim_{k\to\infty} x_k)-F(x)&\mbox{ by continuity of F}\\ &=F(x)-F(x)=0&\mbox{ by continuity of } F. \end{align*}

Estoy seguro de que hay algo worng con mi argumento ya que no parece 'complicado'. Debo de haber entrado en una trampa. Podría por favor alguien que me ayude?

Answer 1

El problema está en el paso donde usted asume

$$\lim_{k\to\infty}f_k(x_k)=F(\lim_{k\to\infty}x_k)\;.$$

Se escribe "por la continuidad de $F$", pero no tiene por $F$ sobre el lado izquierdo, pero $f_k$. También, usted no puede simplemente reemplazar este por un argumento "por la continuidad de $f_k$" porque es una forma diferente $f_k$ por cada $k$. La función y el argumento variar con $k$ – que es lo que hace que este un poco "complicado".

[Editar en respuesta al comentario:]

Aquí hay un diagrama para visualizar lo que está pasando:

$$\begin{matrix} f_j(x_k)&\rightarrow&f_j(x)\\ \downarrow&\searrow&\downarrow\\ F(x_k)&\rightarrow&F(x) \end{de la matriz} $$

Las flechas verticales debido a la $f_j$ convergen pointwise a $F$. Las flechas horizontales presionado por la continuidad, es decir, de la $f_j$ para el superior y de $F$ para el de abajo. Lo que estamos tratando de demostrar que es la flecha diagonal en el medio; es decir, se está estableciendo $j=k$, lo que equivale a sacar de la diagonal de a $f_j(x_k)$, y luego dejar que el índice común ir hasta el infinito en una sola vez. Eso no es simplemente la composición de los otros dos flechas; es una operación diferente. Si esto no es claro de inmediato, le sugiero ir a través de este diagrama con el contraejemplo que Brian se dio en mente, entonces usted debería ser capaz de ver lo que va mal con la flecha diagonal si usted no tiene convergencia uniforme.

Answer 2

Parece que usted utilice el hecho de que $\displaystyle\lim_{k\to +\infty}f_k(x_k)=F(\lim_{k\to +\infty}x_k)$, pero es precisamente lo que tiene para mostrar (y no aparecen claramente donde se utiliza la convergencia uniforme). De todos modos, usted puede escribir \begin{align*}|f_k(x_k)-F(x)|&\leq |f_k(x_k)-F(x_k)|+|F(x_k)-F(x)|\\ &\leq \sup_{x\in\left[a,b\right]}|f_k(x)-F(x)|+|F(x_k)-F(x)|. \end{align*} Ahora, teniendo en $\varepsilon>0$, ya que el $(f_k)$ converge uniformemente a$F$$\left[a,b\right]$, podemos encontrar $K_1$ tal que para $k\geq K_1$ tenemos $\displaystyle\sup_{x\in\left[a,b\right]}|f_k(x)-F(x)|\leq\frac{\varepsilon}2$ y desde $F$ es continuo, como un límite uniforme de funciones, podemos encontrar $K_2$ tal que para $k\geq K_2$ tenemos $|F(x_k)-F(x)|\leq\frac{\varepsilon}2$. Finalmente, para $k\geq K:=\max(K_1,K_2)$ obtenemos $|F_k(x_k)-F(x)|\leq\varepsilon$. Nos damos cuenta de que el resultado no es cierto si no tenemos la convergencia uniforme. Por ejemplo, tomar $a=0$, $b=1$, $f_k(x)=x^k$ y $x_k=1-\frac uk$ para un número real $u\geq 0$ $k$ lo suficientemente grande, ya que es necesario $x_k\leq 1$. Podemos ver que $f_k(x_k)$ converge a $e^{-u}$, y el pointwise límite de $f_k$ es la función de $f\colon x\mapsto 0$$x<1$$f(1)=1$.

Answer 3

El problema se muestra en su primer paso: ¿cómo sabes que $\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x_k)$ existe? El segundo paso es, esencialmente, suponiendo que lo que quieres demostrar. Usted sabe que $\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x_n)=F(x_n)$ por cada $n$, y sabes que $\lim\limits_{k\to\infty}f_n(x_k)=f_n(x)$ por cada $n$, pero en este momento usted no sabe nada acerca de $\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x_k)$, con índices de cambio como se toma el límite. Eso es lo que lo hace un poco complicado.

Otra manera de detectar que algo está mal, es notar que no has usado el uniforme de la convergencia de la $f_n$'s $F$, y el resultado es falso sin ella. En el intervalo de $[0,2]$ deje $f_n$ ser la función cuya gráfica es un segmento de línea recta desde el origen a $(2^{-n},1)$, otro de$(2^{-n},1)$$(2^{-n+1},0)$, y un tercio de $(2^{-n+1},0)$$(2,0)$. Estas funciones convergen pointwise a la función constante $F(x)\equiv 0$, y la secuencia dada por $x_n=2^{-n}$ converge a $0$, pero $\lim\limits_{k\to\infty}f_n(x_n) =$ $1 \ne 0 = F(0)$.