¿Es posible interpretar los coeficientes beta estandarizados para la regresión cuantílica?

Question

¿Es posible interpretar los coeficientes de una regresión cuantílica sobre datos estandarizados?

Supongamos que estandarizo la variable dependiente $y$ y la variable independiente $x$ (restar la media y dividir por la desviación estándar) y luego ejecutar una regresión cuantílica para la mediana como

qreg y x, q(0.5) 

en stata. El coeficiente estimado para la variable independiente es $0.5$ . ¿Es entonces correcta la siguiente interpretación?

Un aumento de una desviación estándar de la variable independiente, aumenta la mediana de la variable dependiente en $0.5$ ¿desviación estándar?

Answer 1

Sí, esa es la interpretación. Una forma de verlo es prediciendo la mediana para diferentes valores de su estandarizado, cada uno a una unidad (en este caso la desviación estándar). A continuación, puede mirar cuánto difieren estas medianas predichas, y verá que es exactamente el mismo número que su coeficiente de regresión cuantil estandarizado. Aquí hay un ejemplo:

. sysuse auto, clear
(1978 Automobile Data)

. 
. // standardize variables
. sum price if !missing(price,weight)

    Variable |       Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+--------------------------------------------------------
       price |        74    6165.257    2949.496       3291      15906

. gen double z_price = ( price - r(mean) ) / r(sd)

. 
. sum weight if !missing(price,weight)

    Variable |       Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+--------------------------------------------------------
      weight |        74    3019.459    777.1936       1760       4840

. gen double z_weight = ( weight - r(mean) ) / r(sd)

. 
. // estimate the quartile regression
. qreg z_price z_weight
Iteration  1:  WLS sum of weighted deviations =  47.263794

Iteration  1: sum of abs. weighted deviations =  54.018868
Iteration  2: sum of abs. weighted deviations =  43.851751

Median regression                                    Number of obs =        74
  Raw sum of deviations 48.21332 (about -.41744651)
  Min sum of deviations 43.85175                     Pseudo R2     =    0.0905

------------------------------------------------------------------------------
     z_price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
    z_weight |   .2552875   .1368752     1.87   0.066    -.0175682    .5281432
       _cons |  -.3415908   .1359472    -2.51   0.014    -.6125966    -.070585
------------------------------------------------------------------------------

. 
. // predict the predicted median for z_weight
. // is -2, -1, 0, 1, 2
. drop _all

. set obs 5
obs was 0, now 5

. gen z_weight = _n - 3

. predict med
(option xb assumed; fitted values)

. list

     +----------------------+
     | z_weight         med |
     |----------------------|
  1. |       -2   -.8521658 |
  2. |       -1   -.5968783 |
  3. |        0   -.3415908 |
  4. |        1   -.0863033 |
  5. |        2    .1689841 |
     +----------------------+

. 
. // compute how much the predicted median
. // differs between cars 1 standard deviation
. // weight apart
. gen diff = med - med[_n - 1]
(1 missing value generated)

. list

     +---------------------------------+
     | z_weight         med       diff |
     |---------------------------------|
  1. |       -2   -.8521658          . |
  2. |       -1   -.5968783   .2552875 |
  3. |        0   -.3415908   .2552875 |
  4. |        1   -.0863033   .2552875 |
  5. |        2    .1689841   .2552875 |
     +---------------------------------+