Olimpiada de desigualdad (de Cauchy/AM-GM ordenar)

Question

Dado $n$ números positivos $x_1,\ldots,x_n$ ($n\ge 3$) tal que el producto $x_1x_2\cdots x_n=1$, muestran que

$$\dfrac{x_1^8}{(x_1^4+x_2^4)x_2}+\frac{x_2^8}{(x_2^4+x_3^4)x_3}+\cdots+\frac{x_n^8}{(x_n^4+x_1^4)x_1}\ge \frac{n}{2}$$

Estoy teniendo problemas para mostrar esto para, incluso,$n=3$, pero parece que una vez que el caso se estableció el método para el caso general, deben ser idénticos. Estoy seguro de que hay una buena aplicación de la AM-GM o de Cauchy que va a resolver. Observe que en cada término tenemos el numerador de grado $8$, y en el denominador hay un factor de grado $4$ y también un factor linear que es toda una molestia. Me han tratado de "homogeneizar" el lineal factor de forma que es de grado 4 (por lo tanto cada fracción de grado 0) por hacer algunas sustituciones, pero he tenido éxito con esto.

Si alguien puede dar una pista (e.g sugieren la sustitución de un producto que puede ser de ayuda), me sería de gran aprecio. Este problema ha estado molestando por un tiempo ahora.

Answer 1

Usted puede demostrar que el uso de las desigualdades AM-GM, GM-HM (media geométrica y la media armónica) y la desigualdad de ordenado de secuencias: $$ \sum_{cyc} \frac{x_1^8}{\left(x_1^4+x_2^4\right)de x_2}=\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}\left(\frac{x_1^4}{x_1^4+x_2^4}\right)=\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}\left(1-\frac{x_2^4}{x_1^4+x_2^4}\right)=\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}-\frac{1}{x_2}\frac{x_1^4x_2^4}{\left(x_1^4+x_2^4\right)}=\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}-\frac{1}{2x_2}\frac{2}{\left(\frac{1}{x_1^4}+\frac{1}{x_2^4}\right)}=\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}-\sum_{cyc} \frac{1}{2x_2}\frac{2}{\left(\frac{1}{x_1^4}+\frac{1}{x_2^4}\right)} $$

Edit: lo Siento, no he leído que lo que desea es una sugerencia, así que deja de aquí si desea hacerlo usted mismo!

Debido a GM-HM tenemos: $\frac{2}{\left(\frac{1}{x_1^4}+\frac{1}{x_2^4}\right)}\le x_1^2x_2^2$ y desde $x_1^4, x_2^4,\dots, x_n^4$ $\frac{1}{x_1},\dots,\frac{1}{x_n}$ son opuestas ordenado, tenemos: $\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}\ge\sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_1}=\sum_{cyc} x_1^3$. Por lo tanto: $$ \sum_{cyc} \frac{x_1^4}{x_2}-\sum_{cyc} \frac{1}{2x_2}\frac{2}{\left(\frac{1}{x_1^4}+\frac{1}{x_2^4}\right)}\ge\sum_{cyc} x_1^3-\sum_{cyc} \frac{1}{2x_2}x_1^2x_2^2=\sum_{cyc} x_1^3-\sum_{cyc} \frac{x_1^2x_2}{2} $$ Así es la izquierda, para demostrar que: $$ \sum_{cyc} x_1^3-\sum_{cyc} \frac{x_1^2x_2}{2}\ge \frac{n}{2}\iff 2\sum_{cyc} x_1^3\ge n+\sum_{cyc} x_1^2x_2 $$ Pero debido a la AM-GM hemos $\sum_{cyc} x_1^3\ge n\cdot\left(x_1^3x_2^3\cdots x_n^3\right)^{\frac{1}{n}}=n$ $\sum_{cyc} x_1^3=\sum_{cyc} \frac{2x_1^3+x_2^3}{3}\ge\sum_{cyc} x_1^2x_2$ y la suma de estos dos se obtiene el resultado deseado.