¿Cómo resolver este sistema por real $x,y,z$

Question

Encontrar los verdaderos valores de $x,y,z$ tal que $$\begin{cases} x+y^2+z^3=21\qquad (1)\\ y+z^2+x^3=71\qquad (2)\\ z+x^2+y^3=45\qquad (3) \end{casos}$$

Gracias a todos. Este problema tiene algunos buenos métodos,

mi idea $$(1)-(2),(2)-(3),(1)-(3)$$ Pero la siguiente es muy feo,

Answer 1

Por sustitución de $x = -z^3-y^2+21$ llegamos al sistema de $$\{z^6+2y^2z^3+y^4+y^3-42z^3-42y^2+z+396=0,$$ $$-z^9-3y^2z^6-3y^4z^3-y^6+63z^6+126y^2z^3+63y^4-1323z^3-1323y^2+z^2+y+9190=0\} $$ in two variables $y,z.$ The necessary and sufficient condition for $z$ to be a root of the reduced system is its resultant in $s$ equals zero. One can read the theory or/and consider a simple example of the system $\{xy-3=0, x+y-4=0\}$ having $y^2-4y+3$ as the resultant in $x$. Computing the resultant of the reduced system in $y$ with help of Maple, we obtain $$z^{27}-189 z^{24}+15869 z^{21}-270 z^{19}-770589 z^{18}-806 z^{17}+ $$ $$2751 z^{16}+23703246 z^{15}+82077 z^{14}-1652484 z^{13}-476609381 z^{12}- $$ $$ 3301322 z^{11}+43400763 z^{10}+6247199406 z^9+64051684 z^8-$$ $$ 614744566 z^7-51522303964 z^6-586660519 z^5+4368480127 z^4+ $$ $$244239132451z^3+2045234869z^2-12927999002z-506350844104 . $$ Su entero ceros pueden ser sólo los divisores de $506350844104=2^3\cdot7^3\cdot{22717}\cdot{8123}$. Con la ayuda de Maple es fácil determinar que $z=2$ es el único entero de la raíz del discriminante. Sustituyendo en el sistema reducido, obtenemos $ \{y^4+y^3-26*y^2+126=0, -y^6+39*y^4-507*y^2+y+2130=0\}$. Sigamos encontrar entero de soluciones. Factoring $126=2\cdot 3^2\cdot 7$ $2130=2\cdot3\cdot5\cdot71$ y hacer sustituciones en el último sistema, nos encontramos con $y=3$ es su única raíz entera. Por último, $x=21-3^2-2^3=4.$ Ver el resultado de la misma y otras soluciones obtenidas con Arce en Maple workshheet exportado como un archivo PDF de tamaño 4.7 MB. Creo que el uso de la base de Groebner métodos para este fin es el mismo, pero en otras fórmulas.

Answer 2

He calculado la base de groebner de los polinomios como @user64494 mencionado. He usado Maxima. La base de groebner puede ser calculada por la

de carga(afín)
grobner_basis([x+y^2+z^3 y los 21 años,y+z^2+x^3-71,z+x^2+y^3-45],[x,y,z]);

o por el rendimiento en el

de carga(grobner)
poly_reduced_grobner([x+y^2+z^3 y los 21 años,y+z^2+x^3-71,z+x^2+y^3-45],[x,y,z]);

El primer método calcula tres polinomios de la siguiente estructura

$$ \bar{a} z +\sum_{i=0}^{26}a_i x^i$$ $$ \bar{b} y +\sum_{i=0}^{26}b_i x^i$$ $$ \sum_{i=0}^{27}c_i x^i$$

el último polinomio es un polinomio en a $x$ y su máximo común divisor con su derivado es $1$ por lo que el mutiplicity de cada uno de sus ceros es $1$. Que da 27 de diferentes raíces a partir de la última ecuación y para cada uno de los esta $x$ podemos calcular exactamente un $y$, y exactamente un $z$ a partir de la segunda y de la primera ecuación. Así, el sistema tiene exactamente el 27 de solución diferente triples. Sólo uno de los que ha entero coeffizients. Esto puede ser fácilmente verificado por la comprobación de los factores del término constante de la tercera polinomio. A la hora de resolver el último polinomio numericaly todos los ceros eran complejas. Pero no me estimación de los errores de estos resultados así que tal vez hay soluciones reales.

Aquí está la base de groebner:

en
[-22854301286836911302951962008959981349675920830211880722252897899482766960*z+
101241650877485702175357226711705181369414285719323271704900599033*x^26+
730493130445989508228919909546810713843847398313779223651087519824*x^25+
3540573574249015290611751414231595174251438296726560696362459674492*x^24-
57601095861658849483369268199123170716838909838202201760548216991291*x^23-
416669170352980097977678503713070508928161605337142188835441001313348*x^22-
2016456288758571753652652790132907402955549749060394170347444871057144*x^21+
14337131315976690795006215432188627110313244968234681142084635386092125*x^20+
103978480705322953404121328349373353056605692054795541302018434791315640*x^19+
502408404617273090219544471435187577487194272063835221567343328898564742*x^18-
2039034484647452387028658505252719405461628375610422339900185203597626901*x^17-
14826474432634752132622616062227371848884875498083166152593448873803203530*x^16-
71521311114728848896178916165302972594230182479373367878179386134592570525*x^15+
181226940795534346770385260687298983718065667166055108247474393752335913762*x^14+
1321223671539991769014646804675227239824380224814739351302708123497923971045*x^13+
6362363772582616985318251284770118333682888331874189797324777618243837202922*x^12-
10307276445941045849534345820507113099945294311434649206210081411446918484325*x^11-
75343259257336924709387227029071797120852196803269283659418048487065673154552*x^10-
362146215827542847154810112038519093263359021196749346190089147623222093355067*x^9+
366332422580930000531415481752870222410425957605250528460101433785913371958926*x^8+
2684909428447129499237047976674561168601618821874354114035878109413695326368746*x^7+
12879883798773848342540629050370768049664513490474144436583475665514444464655428*x^6-
7438517094093356983768963560448216577725696705790510624875660142169716771602186*x^5-
54664246407870934149414874884315975429538144465899291373677653339786209016391993*x^4-
261677584970079842980777720997231146139739299214259648915820513414255604682118559*x^3+
66066390235017785913904655414260680985998364039917501956028362648150414415329741*x^2+
486824957266269401188349248475110086868907667753511055300723913552755230112968255*x+
2325133789380244519283058674358315974252223598711974898685477942350490058629214164,-
22854301286836911302951962008959981349675920830211880722252897899482766960*y-
21928789092803889010334179574530184728288965460282593414217253279*x^26-
152103310477485971369396850528778398228632402972685478700533993872*x^25-
988179692325307396783678134780425835532168323719473916698506679716*x^24+
12933819405944247941172667124481567911681725018225952498581194464573*x^23+
89938135538433583335922325553012386064779341649646642361591239103724*x^22+
582839561747331703375181095894833526579379002016722929878345498144072*x^21-
3331141319180171470215338707159514382225219185646945703056257598501275*x^20-
23229961710706062880802555954436210242730111880472754898962774770976120*x^19-
150129341853633401912908815913160119483105852726405693279392081337521146*x^18+
489378818781203857880434101561926565990504171151681432414788820341094563*x^17+
3423513056887354008445341032875654979344170277490134585626494166430952070*x^16+
22059528092709636101254096434519805314580702526855170316960293809562972075*x^15-
44857998497083833724275743674521090210369556809354566210855457229866525566*x^14-
314892768405662620941263918560036836148834876514280384278560885299721478835*x^13-
2022455842784927028311019517125865551837537411904715466791190485162918188246*x^12+
2627290904346381452089886122894549612284128981398782728265980522465609711075*x^11+
18511710895421508337181421922431934716807573882378263882516613703456364182136*x^10+
118475634137858317062762823521711571537050276219847738152725178350433229707101*x^9-
96022820398943598967632410768386023063188488168438098386178972900846941634338*x^8-
679275985511615170010158066671976445958836285330040108431256781661535751362758*x^7-
4330693730813796394106212173292340472948499531356086191489896849483786632851484*x^6+
2002348350491636851981453322355110239376545077965342970879612273698559893101318*x^5+
14225370617524898062345035822331501546653752741532711702558265171048399604012159*x^4+
90313914479160605603365299986764796656164484141145941454210585974096513407067177*x^3-
18240391291763487049416441111795509341260648910733163865954678717962898657490603*x^2-
130176398896181791458459621936504708298839623432402245897766115443221476925110745*x-
822702788278816708609269811910387535708844491714474156683033054021020239576593372,-x^27+639*x^24-181469*x^21+126*x^19+
30059569*x^18+374*x^17-52875*x^16-3200520314*x^15-131153*x^14+9241866*x^13+227140065437*x^12+18389824*x^11-861123553*x^10-
10744545334274*x^9-1288661506*x^8+45108241500*x^7+326660977116850*x^6+45126215945*x^5-1259442975385*x^4-5791804786248161*x^3-
631705457559*x^2+14642062395512*x+45627953854801104]