¿Cuál es la transformada de Fourier de estas funciones?

Question

1. La transformada de Fourier de $|x|^{\alpha}$.

   Esta es la transformada de Fourier de una función homogénea, y hay varios casos de varios $\alpha$: al $a\leq -n$, no es un templados; al $-n<\alpha<0$,entonces la transformada de Fourier es $c_{n}|\xi|^{-n+\alpha}$ donde $c_{n}$ es una constante; al $\alpha=2k$,un resultado positivo de número par, entonces es el de la transformación de Fourier es $(-\Delta)^{k}\delta_{0}$.

   Mi pregunta es al $\alpha$ es cualquier número positivo (no incluso el caso), entonces ¿cuál es la transformada de Fourier de la misma ?

2. La transformada de Fourier de $e^{it|x|}$ ?

   (las transformadas de Fourier he mencionado aquí son en el sentido de templado distribuciones)

Answer 1

${1.} $ El operador correspondiente se denota $(-\Delta)^{\alpha/2}$, y se llama Laplaciano fraccionario. Básicamente, la transformada de Fourier de $|x|^\alpha$ "debe ser" una función homogénea $|\xi|^{-n-\alpha}$. Ya que no es localmente summable no es más que un núcleo de un integrante del operador. Pero define una elíptica lineal integro-diferencial operador de orden $\alpha$. Para $0<\alpha<2$ $$ (-\Delta)^{\alpha/2} u(x) = -c_{n,\alpha} \int_{\mathbb{R}^n}\frac{u(x-y)-2u(x)+u(x+y) }{|y|^{n+\alpha}}dy. $$

Una dimensión analógica puede ser este. La función $|x|^{-1}$ no es localmente summable y por lo tanto no define una distribución regular. Pero también puede ser utilizada para definir una distribución como $$ ({\cal P}\frac1{|x|},\varphi)= \int_{|x|\le 1}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{|x|}\,dx+ \int_{|x|> 1}\frac{\varphi(x)}{|x|}\,dx. $$