Derivado de la Meijer de la función G con respecto a uno de sus parámetros

Question

Hay enfoques que permiten encontrar un derivado de la Meijer de la función G con respecto a uno de sus parámetros en una forma cerrada (o al menos numéricamente con una alta precisión y en un tiempo razonable, con todas encontrado dígitos seguramente correcta)? Estoy particularmente interesado en este caso: $$\mathcal{D}=\left.\partial_\alpha G_{2,3}^{2,1}\left(1\medio|\begin{array}c1,\alpha\\1,1,0\end{array}\right)\right|_{\alpha=1}$$

Answer 1

Sí, es posible en algunos casos. Por ejemplo, $$\begin{align}\mathcal{D}&={_2F_2}\left(\begin{array}c1,1\\2,2\end{array}\middle|-1\right)\\&=\gamma-\operatorname{Ei}(-1),\end{align}$$ donde ${_pF_q}$ es la función hipergeométrica generalizada, $\gamma$ es el de Euler–Mascheroni constante, y $\operatorname{Ei}(z)$ es la integral exponencial. En caso de que necesite un valor numérico, $$\mathcal{D}\approx0.7965995992970531342836758655425240800732066293468318063837458...$$