La preservación de los tensores y cotensor y adjoint functors

Question

Deje $\mathcal{V}$ ser un monoidal simétrica categoría y $\underline{\mathcal{M}}$ $\underline{\mathcal{N}}$ ser cotensored y tensored $\mathcal{V}$-categorías. Ahora, decir que tenemos una contigüidad $$F: \mathcal{M} \leftrightarrows \mathcal{N} : G$$ entre las categorías subyacentes . Quiero demostrar que si $F$ es en realidad un $\mathcal{V}$-functor y F preserva los tensores en el sentido de que hemos natural isomorphisms $F(v \otimes m) \cong v \otimes Fm$, entonces realmente podemos convertir esto en un enriquecido contigüidad.

Aquí es lo que he intentado. Definamos $s_{m,n}:\underline{\mathcal{M}}(m,Gn) \rightarrow \underline{\mathcal{N}}(Fm,n)$ como el compuesto. $$\underline{\mathcal{M}}(m,Gn) \xrightarrow{F_{m,Gn}} \underline{\mathcal{N}}(Fm,FGn) \xrightarrow{\epsilon^n_\ast} \underline{\mathcal{N}}(Fm,n)$$ which is enriched natural. Now, let us define an inverse $t_{m,n} : \underline{\mathcal{N}}(Fm,n) \rightarrow \underline{\mathcal{M}}(m,Gn)$ by using the adjunctions and the fact that $F$ preserves tensors by requiring it to be be the morphism mapping to $id_{\underline{\mathcal{N}}(Fm,n)}$ dentro de la cadena de isomorphisms
$$\mathcal{V}(\underline{\mathcal{N}}(Fm,n),\underline{\mathcal{M}}(m,Gn)) \cong \mathcal{M}(\underline{\mathcal{N}}(Fm,n) \otimes m, Gn) \cong \mathcal{N}(\underline{\mathcal{N}}(Fm,n) \otimes Fm,n) \cong \mathcal{V}(\underline{\mathcal{N}}(Fm,n), \underline{\mathcal{N}}(Fm,n).$$

Ahora se quiere demostrar que estas son mutuamente inversas, así que hice lo que me parecía la cosa obvia - trató de componer y mostrar que se cancela, pero no tengo la suerte (yo tengo las expresiones que fueron muy complicado y yo no podía reducir aún más). Cómo puedo ir? Alguien podría ser tan amable de explicar en algo más de detalle cómo una realidad muestra que estos dos son mutuamente inversas?

Answer 1

Esto en realidad no responder a su pregunta precisa, pero la forma en que sé cómo probar esto es a través de la Yoneda la integración en el enriquecimiento de la categoría $\mathcal{V}$. Para cualquier $m \in \mathcal{M}$$n \in \mathcal{N}$, considerar la presheaf de los conjuntos en $\mathcal{V}$ dada por

$$ v \mapsto {\cal{V}}(v, \underline{\cal{M}}(m, Gn)) $$

Entonces podemos usar la unenriched contigüidad, tensoring, y la supuesta compatibilidad entre ellos para obtener natural isomorphisms

$$ {\cal{V}}(v, \underline{\cal{M}}(m, Gn)) \cong {\cal{M}}(v \otimes m, Gn) \cong {\cal{N}}(F(v \otimes m), n) \cong {\cal{N}}(v \otimes Fm, n) \cong {\cal{V}}(v, \underline{\cal{N}}(Fm, n)) $$

Así, los objetos $\underline{\cal{M}}(m, Gn)$ $\underline{\cal{N}}(Fm, n)$ representan el mismo presheaf en $\cal{V}$, y por lo tanto son isomorfos. Por otra parte, esto es natural en $m, n$. Hay más trabajo por hacer, la comprobación de coherencias y tal, pero esto es básicamente cómo va.