La evaluación de $\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \cdot \frac{2^{2n-1}}{(2n+1)\cdot 3^{2n-1}}}$

Question

Calcular la suma de $\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \cdot \frac{2^{2n-1}}{(2n+1)\cdot 3^{2n-1}}}$.

Así que me dijo:

Mark $x = \frac{2}{3}$. Por lo tanto, nuestra suma es $\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \cdot \frac{x^{2n-1}}{(2n+1)}}$.

Pero, ¿cómo exactamente deshacerse de la $(-1)^n$? También me doy cuenta de que es una suma de los extraños poderes de $x$, ¿cómo puedo convertirlo en total? (Sé que debería restar del total), pero los signos de esta suma es diferente de los signos de la suma total

Answer 1

Se puede observar que el $$\frac{1}{x^2}\int x^{2n}\mathrm dx=\frac{x^{2n-1}}{(2n+1)}$$ Así:

$$\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \frac{x^{2n-1}}{(2n+1)}}=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n }\int x^{2n}\mathrm dx=\frac{1}{x^2}\int \left(\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n }x^{2n}\right)\mathrm dx$$ Y (teniendo en cuenta que $x\leq 1$) $$\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n }x^{2n}=-\frac{x^2}{x^2+1}$$ Entonces $$\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \frac{x^{2n-1}}{(2n+1)}}=\frac{1}{x^2}\int \left(-\frac{x^2}{x^2+1}\right)\mathrm dx=\frac{\tan^{-1}(x)-x}{x^2}$$

Answer 2

Desde $$ \bronceado^{-1}(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$ tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{2n+1} =\frac{\bronceado^{-1}(x)-x}{x^2} $$ Para $x=\frac23$, la suma es de aproximadamente $-0.176994142017973$.

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Sin conocer la serie de $\tan(x)$ primer

No es muy difícil darse cuenta de que si multiplicamos la serie por $x^2$ y diferenciar, obtenemos $$\sum_{k=1}^\infty(-1)^kx^{2k}=\frac1{1+x^2}-1$$ We get that by using the geometric series formula. Now we integrate and divide by $x^2$ para deshacer lo que acaba de hacer.

Answer 3

Me gustaría empezar a utilizar una serie geométrica, vamos a $|x|<1$, entonces: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x^{2n}=-\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}-1.$$ Integrando con respecto a $x$ y dividiendo por $x^2$ usted obtener robjohn del resultado