Puede este circulantes determinante sea cero?

Question

La pregunta es:

Si $a,b,c$ son negativos distintos números reales,entonces el determinante de $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a\\ c & a & b \end{vmatrix} $$ is $$(a) \le 0 \quad (b) \gt 0 \quad (c) \lt 0 \quad (d) \ge 0 $$

Mi estrategia: me identifico que la matriz es una circulantes por lo tanto el determinante puede ser expresado en la forma de $-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$, lo que implica que $-(a+b+c)\frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ por lo tanto $(-)(-)(+) \gt 0$, pero las respuestas dice que es $\ge 0$, por lo que podemos tener de tres a $a,b,c$ de manera tal que la respuesta es $0$ ?

Answer 1

Si usted requiere de $a, b, c$ distintos, no. El plazo $a+b+c$ puede no ser $0$ ya que todos ellos tienen el mismo signo y el otro término es la suma de los cuadrados de los cuales sólo pueden ser $0$ si $a=b=c$.

Answer 2

Considere la ecuación:

$$(a^3 + b^3 + c^3)/3 = abc$$

como expresión de la igualdad de la aritmética y geométrica de los medios de $a^3,b^3,c^3$. Por un conocido resultado de esto es posible sólo si los tres cubos son iguales. Así que no, no podemos conseguir distintas y el determinante es igual a cero.