Yo estaba tratando de demostrar que la siguiente declaración:
Deje $(X,\mathscr{T})$ ser un espacio topológico. Si el conjunto de la acumulación de puntos de $\{x\}$ es cerrado para cada $x\in X$, entonces el conjunto de acumulación de puntos de cada subconjunto de $X$ es cerrado.
He tratado de empezar, para un subconjunto $S\subset X$, $x\in (S')'\setminus S'$, donde $S'=\{\mbox{accumulation points of }S\}$, y obtener una contradicción, pero todo lo que he mostrado es que el $x\in S$ $\{x\}'\subset S'$ (pero no parece ayudar a...):
Usted puede elegir un conjunto abierto $V$ contiene $x$ que $V\cap \left(S\setminus\{x\}\right)=\emptyset$ (debido a $x\notin S'$). A continuación,$\exists y\in V\cap S'$, lo $V$ es un barrio de $y$, y, a continuación,$V\cap (S\setminus\{y\})\ne\emptyset$. Esto implica necesariamente que el$V\cap (S\setminus\{y\})=\{x\}$$x\in S$.
Si $y\in\{x\}'$, luego todo abierto vecindario $U$ $y$ es un barrio abierto de $x$ y, repitiendo el argumento, $U\cap S\setminus\{y\}$ es no nulo, por lo $y\in S'$.
Por favor, cualquier sugerencia? Gracias!
