Como un breve resumen de la siguiente, estoy pidiendo:
- Un ejemplo de un anillo con ningún máxima ideales que no es un cero del anillo.
- Una prueba (o contraejemplo) que $R:=C_0(\mathbb{R})/C_c(\mathbb{R})$ es un anillo con ningún máxima ideales.
Una pregunta de la tarea en mi clase de álgebra a principios de este año pidió a la exhibición de un anillo (necesariamente sin identidad) sin ningún máxima (correcto) ideales. Soluciones para esto, basta con exhibir un grupo abelian $(G,+)$ sin máxima (adecuado) de los subgrupos. Para, dado un grupo, definir la multiplicación constante cero. En este caso, $G$ se convierte en un cero anillo sin maximal ideales (ya que los ideales corresponden a los subgrupos).
No es particularmente difícil la construcción de ejemplos de lo anterior. Considere, por ejemplo, $(\mathbb{Q},+)$. Otro ejemplo interesante es $P=\{z\in\mathbb{C}\mid \existe n\in\mathbb{N}, z^{p^n}=1\}$ con la norma número complejo multiplicación como la "adición" (que es, como el grupo abelian operación).
Sin embargo, cualquier ejemplo construidos de esta manera es un cero del anillo, y como tal parece "artificial", que admito, no es un riguroso plazo. Me gustaría encontrar un poco menos artificial ejemplo de un anillo sin maximal ideales. Para una definición de "menos artificial," vamos a empezar con "no es un cero del anillo."
Tengo un candidato en mente, pero estoy teniendo problemas con explícitamente demostrando que no tiene la máxima ideales. Deje de $C_0(\mathbb{R})$ denotar el anillo de continuo con un valor real de la función en $\mathbb{R}$ de fuga en el infinito. Deje de $C_c(\mathbb{R})$ denotar el (a dos caras) ideal de forma compacta las funciones compatibles. Yo creo que el anillo $R:=C_0(\mathbb{R})/C_c(\mathbb{R})$ no contiene la máxima ideales, pero estoy teniendo problemas para mostrarlo.
Mi intuición para este problema es como sigue. Dada una función $f\in C_0(\mathbb{R})$, $f(x)$ aproxima a cero en algún "tipo" como $x\a\pm\infty$ (posiblemente diferente basado en $\pm$). Además, para cualquier tasa, podemos encontrar una función con una mayor tasa, en el sentido de que podemos encontrar $g\in C_0(\mathbb{R})$ tal que $f(x)=o(g(x))$ ($f$ es poco-$o$ de $g$). Ahora, incluso si $f$ es que no se desvanece, no hay $h\in C_0(\mathbb{R})$ tal que $fh=g$, para cualquier $h$ no podía desaparecer en el infinito. Así, el principal ideal generado por $f$ no contiene $g$. Por la iteración de este proceso, podríamos construir una estrictamente ascendente de la cadena de los principales ideales.
Ahora, la idea es que el anillo $R$ consta de estas "tasas" como se describió anteriormente. Sé que esto no es precisa, o necesariamente correcta. Pero mi intuición. El párrafo anterior muestra que podemos encontrar de forma ascendente en la cadena de "tarifas", pero una gran cantidad de trabajo que aún queda por hacer. Si alguien puede limpiar esto, sería muy apreciado.
