¿Cómo ver la meromorficidad de una función localmente?

Question

Dado un germen de una función analítica sobre una superficie de Riemann (compacta, para simplificar), ¿cómo se puede ver (localmente) si se trata de un "germen de función meromorfa"? Es decir, si hago la continuación analítica a lo largo de varios caminos, ¿cómo puedo estar seguro de que nunca veré una singularidad esencial?

Otra formulación de esta pregunta es, ¿cómo se puede determinar si una serie de Taylor convergente determina una función meromorfa en el espacio de cobertura universal de la superficie de Riemann?

El hecho de que no haya ninguna singularidad esencial implica ciertamente algo, por ejemplo, cuando nuestra superficie de Riemann es CP^1, entonces para que una serie de taylor sea meromorfa, debe ser racional. Pero, ¿cómo se comprueba esto localmente, en un nbhd de un punto?

Gracias

P.D. No sé cómo etiquetar esta pregunta. Sugiera una etiqueta en el comentario por favor si es posible.

Answer 1

Comprobar si una función es racional localmente es sencillo, ya que los coeficientes de Taylor satisfacen un teorema de estructura muy fuerte. Deben existir números complejos $\alpha_1, ... \alpha_k$ y los polinomios $P_1, P_2, ... P_k$ tal que los coeficientes de Taylor satisfacen

$\displaystyle f_n = \sum_{i=1}^{k} P_i(n) \alpha_i^n$

para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ . El grado de $P_i$ es uno menos que el orden del polo en $\alpha_i$ . Entre otras cosas se deduce que asintóticamente tenemos $f_n \sim A \alpha^n n^k$ para algunos $A, \alpha \in \mathbb{C}$ y algún entero no negativo $k$ Y esta es una condición muy fuerte. Sin embargo, no sé cómo es la situación para otras superficies de Riemann.