Sumas de Cuarto Poderes

Question

Mientras que jugando en mi calculadora que he encontrado:

$$7^4 + 8^4 + (7 + 8)^4 = 2 * 13^4$$ $$11^4 + 24^4 + (11 + 24)^4 = 2 * 31^4$$

Estoy intrigado, pero no puedo explicar por qué estas dos ecuaciones son verdaderas. Son estas coincidencias o hay una fórmula o teorema de explicarlas?

Answer 1

Usted tiene una versión disfrazada de triángulos con el entero lados y un $120^\circ$ ángulo. Estos son $$ 3,5,7 $$ $$ 7,8,13 $$ $$ 5,16,19$$ $$ 11,24, 31, $$

que resolver $$ a^2 + ab + b^2 = c^2. $$ Cuadrado ambos lados y, a continuación, haga doble ambos lados y obtener sus identidades.

Estos pueden ser generados por un coprime par de número de $m,n$ con $$ a = m^2 - n^2 $$ $$ b = 2mn+n^2 $$ $$ c = m^2 + mn + n^2 $$

Answer 2

En primer lugar, observe $$a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+2b^{4}\\=2(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})\\=2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$$ Sus identidades surgen cuando se $a^{2}+ab+b^{2}$ es en sí mismo un cuadrado perfecto. Las soluciones de esta ecuación son generados de manera similar a ternas pitagóricas: nos paramaterise por coprime enteros $m,n$. $$a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn+n^{2}$$ Sus ejemplos son los casos de $(m,n)=(3,1)$ $(5,1)$ respectivamente.

Answer 3

Voy a empezar a Se Jagy de la pista.

Si $c^2 =a^2+ab+b^2 $,

$\begin{array}\\ c^4 &=a^4+a^2b^2+b^4+2a^3b+2a^2b^2+2ab^3\\ &=a^4+3a^2b^2+b^4+2a^3b+2ab^3\\ \text{so}\\ 2c^4 &=2a^4+6a^2b^2+2b^4+4a^3b+4ab^3\\ &=a^4+b^2+a^4+6a^2b^2+b^4+4a^3b+4ab^3\\ &=a^4+b^4+a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ &=a^4+b^4+(a+b)^4\\ \end{array} $

Yep.