Con $xy+yz+zx=-1$ probando: $x^2+2y^2+2z^2 .....$

Question

Suponiendo que $xy+yz+zx=-1$ , demuestre que :

$$x^2+2y^2+2z^2 \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$

Answer 1

Se puede hacer esto mediante coeficientes adecuados y una variante de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\dfrac{a_1^2}{b_1} + \dfrac{a_2^2}{b_2} + \dfrac{a_3^2}{b_3} \ge \dfrac{(a_1 + a_2 + a_3)^2}{b_1 + b_2+b_3}$ . Esto se deduce fácilmente de Cauchy Schwarz, para números reales $a_i$ y $b_i$ .

Así que, $\dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{b} + \dfrac{z^2}{b} \ge \dfrac{(x + y + z)^2}{a + 2b} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2 - 2}{a + 2b}$

$$ \implies \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2b} \right)x^2 + \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a+2b} \right)\left(y^2+z^2\right) \ge \frac{-2}{a+2b}$$

Comparando con el LHS que queremos en nuestra igualdad, tenemos dos ecuaciones que resolver para obtener la correcta $a, b$ : $$ \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2b} = 1 \text{ and } \frac{1}{b} - \frac{1}{a+2b} = 2$$

Resolviendo esto, tienes dos posibles soluciones, elige la que te da la RHS deseada.

En este caso, $b = \dfrac{7+\sqrt{17}}{8} $ y $a = -\dfrac{3+\sqrt{17}}{2} $ hacen el truco y dan RHS de $\dfrac{1+\sqrt{17}}{2} $

Answer 2

Tenemos que demostrar que $$x^2+2y^2+2z^2+\frac{1+\sqrt{17}}{2}(xy+xz+yz)\geq0$$ o $$x^2+\frac{1+\sqrt{17}}{2}(y+z)x+2y^2+2z^2+\frac{1+\sqrt{17}}{2}yz\geq0,$$ para lo cual basta con demostrar que $$\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}(y+z)\right)^2-4\left(2y^2+2z^2+\frac{1+\sqrt{17}}{2}yz\right)\leq0,$$ que es $(y-z)^2\geq0$ .

¡Hecho!