Demostrando que $\|A\|$ es finito.

Question

Deje $|v|$ ser la norma Euclídea norma en $\mathbb{R^n} $. Para $A\in \mathrm{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$ definimos $\displaystyle \|A\|:= \sup_{\large v\in \mathbb{R^n},\,v \neq 0}\frac{|Av|}{|v|}$. Cómo mostrar que $\|A\|$ es finito para cada $A$? Sería muy útil si alguien podría dar pistas. Creo que debería mostrar que $\|-\|$ es acotado,pero no sé cómo...

Answer 1

Suponga $A\in \Bbb R^{m\times n}$ y escribir $Ax=: y$, donde $x\in\Bbb R^n$, $\ y\in\Bbb R^m$. Luego de Schwarz' la desigualdad $$y_i^2=\left(\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k\right)^2\leq \sum_{k=1}^n a_{ik}^2\ \sum_{k=1}^n x_k^2=|a_{i\cdot}|^2\ |x|^2\qquad(1\leq i\leq m)$$ y por lo tanto $$|y|^2=\sum_{i=0}^m y_i^2\leq C|x|^2$$ con $$C:=\sum_{i=1}^m |a_{i\cdot}|^2=\sum_{i,k} a_{ik}^2\ .$$ De ello se sigue que $$\|A\|\ \leq\ \left(\sum_{i,k} a_{ik}^2\right)^{1/2}\ .$$

Answer 2

Ok parece que debería hacerlo un poco más explícito: En primer lugar podemos escalar el problema a través de la homogeinidad de normas: $$ \sup_{v\in \mathbb{R}^n, v\neq 0} \frac{|Av|}{|v|}=\sup_{v\in \mathbb{R}^n, v\neq 0} |A\frac{v}{|v|}| = \sup_{|v|=1, v\in \mathbb{R}^n} |Av|$$ Ahora podemos escribir la Matriz $A$ como esta $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a& b \\0 & 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \\ \end{pmatrix}$$ Nos decomposite la Matriz $A$ en una suma de matrizes $A_i$ donde sólo el 1 columna no sólo ha $0$ entradas. Así, obtenemos $$\sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n } |Av|=\sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n} |\sum_{i=1}^n A_i v|$$ Con el triángulo de la desigualdad obtenemos $$\sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n} |Av|\leq \sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^n |A_i v|$$ Podemos identificar a $A_i\in \mathbb{R}^{n\times n}$ con un vector $b_i\in \mathbb{R}^n$, $b_i$ ¿tiene el no cero entradas de $A_i$. Tenga en cuenta que $A_i v$ es un vector con sólo 1 no $0$ entrada. Así $$A_i \cdot v=\langle b_i,v \rangle \cdot e_i$$ where $e_i=(0,\dots,1,0,\dots,0)$

Deje $\langle \cdot , \cdot \rangle$ ser el euklidean scalarproduct obtenemos: $$\sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^n |A_i v| =\sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^n \operatorname{abs}(\langle b_i, v\rangle) \cdot |e_i| $$ El uso de Cauchy Schwarz tenemos
$$\sup_{|v|=1,v\in \mathbb{R}^n}\sum_{i=1}^n \operatorname{abs}(\langle b_i, v\rangle) \cdot |e_i| \leq \sup_{|v|=1, v\in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^n |b_i|\cdot |e_i|$$ Puesto que esto es (por fin) independiente de $v$ $$ \sup_{|v|=1, v\in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^n |b_i|\cdot |e_i|=\sum_{i=1}^n |b_i|\cdot |e_i|$$

Answer 3

Deje $||\cdot ||$ ser cualquier norma en un finito dimensional espacio vectorial $X$. Luego de definir la norma $N$ en el espacio de endomorphisms $\mathcal{L}(X)$$N(\varphi)= \sup\limits_{x \in X \backslash \{0\}} ||\varphi(x)||/||x||$. Es sencillo, que $N(\varphi)= \sup\limits_{x \in X, ||x||=1} ||\varphi(x)||$. Se puede deducir que el $N(\varphi)<+ \infty$ a partir de la continuidad de $\varphi$ (cualquier endomorfismo de un número finito de dimensiones normativa espacios es continua) y la compacity de la esfera $\{x \in X : ||x||=1\}$ (de un número finito de dimensiones normativa espacio es localmente compacto).

Answer 4

Sugerencia: Deje $S=\{v\in\mathbb{R}^n\;|\;|v| = 1\}, N = \{\frac{|Av|}{|v|}\;|\;v\in\mathbb{R}^n.\;v\ne 0\}, N' = \{|Av|\;|\;v\in\mathbb{R}^n.\;|v|=1\}$

Paso 1: $||A|| = \sup N = \sup N'$

Paso 2: Mostrar que $x\to|Ax|$ es un mapa continuo. $S$ es cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$ por lo tanto compacto, |Ax| alcanza el máximo en $S$.

Hecho

¿Usted sucede estar en Álgebra Lineal II clase?