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Cómo igualdad son una serie y su suma?

Esta es una pregunta acerca de la lógica del lenguaje matemático sobre series infinitas.

Es normal decir $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}=2$. Este tipo de ecuación se da a menudo en la forma de una anotación introducción dentro de la definición de "converger(nt)". Pero también es normal a afirmar cosas acerca de $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ y denegar el correspondiente declaraciones acerca de $2$:

  1. $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ converge, sino $2$ no "convergen".
  2. $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ es una serie infinita, sino $2$ no lo es.

En la superficie, esto parece una violación de las más elementales sustituibilidad de igual a igual para los iguales. Veo dos posibles explicaciones:

En primer lugar, el problema resultado de hablar de $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ pero refiriéndose implícitamente a su forma. Por ejemplo, en "6/3 es una fracción, pero 2 no es", la idea de "una fracción" no se refiere a que el valor de 6/3, pero a su forma. Esto parece plausible y atractiva, especialmente para decir "es una serie infinita", pero parece ser un tramo de "converge". Por ejemplo, decir que un anidada suma $\sum\limits_{n=0}^\infty \ \sum\limits_{m=0}^\infty \ldots$ "converge" (tratándolo como una suma de $n$), se requiere que el interior de las sumas de ser evaluadas. Esto no se siente como una descripción de la forma por sí solo.

Segundo, el problema puede producirse porque la igualdad de $ \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}=2$ no es, de hecho, sincero igualdad: significa algo distinto de la lógica de la identidad. Esta interpretación es fuertemente favorecido por el hecho de que aparezca en una definición! (Es de suponer que no tendríamos el derecho de redefinir la lógica de la identidad.) Así, no hay ninguna razón para esperar que la sustituibilidad, y no hay ningún problema. Pero esto parece falsa: En muchos contextos, podemos libremente sustituto de la serie y sus sumas. También utilizamos esta "$=$" símbolo simétricamente y transitivamente, mezclando sin comentarios con la normal de la igualdad.

He entendido correctamente el uso normal? Es cualquiera de estas interpretaciones de la "correcta"? Hay un "lógico de la solución"?

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user8269 Puntos 46

Creo que se ejecutan en estos problemas mucho antes de llegar a una serie infinita. Hay afirmaciones que son verdaderas $2+2$ pero falso acerca de la $4$. Si usted puede entender la medida en que la sustitución es igual para los iguales trabaja para $2+2=4$, donde usted no tiene las distracciones del infinito, puede estar bien en su manera a las respuestas a sus preguntas.

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Did Puntos 1

En el sentido de la etiqueta (la lógica), no hay ninguna lógica involucrados. Más bien se puede mantener en mente que, a grandes rasgos, una serie es realmente la secuencia de sus sumas parciales.

Con algo más de rigor, el inicio de una secuencia $(a_n)_{n\geqslant0}$, a decir de los números reales para mantenerlo simple. A continuación, la serie asociada a $(a_n)_{n\geqslant0}$, a menudo denotado $\sum\limits_na_n$ es la secuencia de $(A_n)_{n\geqslant0}$ definido por $A_n=\sum\limits_{k=0}^na_k$ por cada $n\geqslant0$. La suma de la serie $\sum\limits_{n}a_n$, a menudo denotado $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n$ cuando existe, es el número real se define como el límite de $\lim\limits_{n\to\infty}A_n$ de la secuencia de $(A_n)_{n\geqslant0}$.

Uno ve que la afirmación de $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^{-n}=2$ es en realidad una abreviatura de dos sucesivas declaraciones: la primera, basada en la $a_n=2^{-n}$ por cada $n\geqslant0$, la secuencia de $(A_n)_{n\geqslant0}$ definido anteriormente converge; segundo $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=2$.

Por supuesto, la confusión puede ocurrir tan pronto como se utiliza $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n$ para denotar $(A_n)_{n\geqslant0}$, pero por lo demás todo funciona bien. Como un ejemplo, tenga en cuenta que $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^{-n+1}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(3/4)^{n}$ desde estos dos números reales son el número de $4$, mientras que $\sum\limits_n2^{-n+1}\ne\sum\limits_n(3/4)^{n}$ ya que existe al menos un entero $n\geqslant0$ tal que $2^{-n+1}\ne(3/4)^{n}$.

Editar Un buen punto mencionado por @Gerry es que la misma distinción se debe mantener entre secuencias finitas y sus sumas. Las secuencias de $(a_n)_{0\leqslant n\leqslant3}$ $(b_n)_{0\leqslant n\leqslant3}$ definido por $a_0=a_1=a_2=a_3=3$ y por $b_0=b_1=3$, $b_2=4$, $b_3=2$, no son iguales porque $a_2\ne b_2$, por ejemplo, a pesar de $a_0+a_1+a_2+a_3=12$ $b_0+b_1+b_2+b_3=12$ son iguales.

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CodingBytes Puntos 102

Cuando escribimos "2+3=5" entonces no nos referimos a que el montón de píxeles "2+3" es igual a la del montón "5", sino que tengamos una noción abstracta de los objetos $2$, $3$, $5$ y, además, una función de ${\rm plus}$ que asigna a cualquier par de números de $(x,y)$ valor ${\rm plus}(x,y)$ escrito como $x+y$. Entonces la ecuación de $2+3=5$ expresa el hecho de que el valor que toma la ${\rm plus}$ sobre el par $(2,3)$$5$.

Del mismo modo, dada una secuencia infinita $a:=(a_0, a_1, a_2,\ldots)$ de los números hay una (lógicamente muy involucrado) la función ${\sum}$ que se asigna a esta secuencia, ya sea el valor de ${\tt undefined}$ o de un número determinado. Una ecuación de la forma $\sum a= \sigma$ donde $\sigma$ es un número determinado, es la declaración de que el valor asignado por $\sum$ a la secuencia de $a$$\sigma$.

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GmonC Puntos 114

No es muy a menudo una diferencia entre el significado de la misma frase o expresión, según el contexto. Escribir una infinita suma, en el contexto de una mayor expresión significa que implícitamente de afirmar su convergencia, y utilice el límite de valor en la expresión. Esto es similar para una suma directa de subespacios (en el aspecto de que no es una reivindicación implícita como un producto de un valor producido). Si usted escribe una infinita suma por sí mismo (hablando de sus términos, de su convergencia) usted probablemente está hablando acerca de su forma. Del mismo modo, si usted dice que algunos vector es una combinación lineal de algunos otros, la combinación lineal significa que su valor, mientras que si dices una combinación lineal es trivial, se está refiriendo a su forma ("una familia de vectores es independiente si no trivial combinación lineal de ellos es igual al vector cero").

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