Esta es una pregunta acerca de la lógica del lenguaje matemático sobre series infinitas.
Es normal decir $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}=2$. Este tipo de ecuación se da a menudo en la forma de una anotación introducción dentro de la definición de "converger(nt)". Pero también es normal a afirmar cosas acerca de $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ y denegar el correspondiente declaraciones acerca de $2$:
- $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ converge, sino $2$ no "convergen".
- $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ es una serie infinita, sino $2$ no lo es.
En la superficie, esto parece una violación de las más elementales sustituibilidad de igual a igual para los iguales. Veo dos posibles explicaciones:
En primer lugar, el problema resultado de hablar de $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}$ pero refiriéndose implícitamente a su forma. Por ejemplo, en "6/3 es una fracción, pero 2 no es", la idea de "una fracción" no se refiere a que el valor de 6/3, pero a su forma. Esto parece plausible y atractiva, especialmente para decir "es una serie infinita", pero parece ser un tramo de "converge". Por ejemplo, decir que un anidada suma $\sum\limits_{n=0}^\infty \ \sum\limits_{m=0}^\infty \ldots$ "converge" (tratándolo como una suma de $n$), se requiere que el interior de las sumas de ser evaluadas. Esto no se siente como una descripción de la forma por sí solo.
Segundo, el problema puede producirse porque la igualdad de $ \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}=2$ no es, de hecho, sincero igualdad: significa algo distinto de la lógica de la identidad. Esta interpretación es fuertemente favorecido por el hecho de que aparezca en una definición! (Es de suponer que no tendríamos el derecho de redefinir la lógica de la identidad.) Así, no hay ninguna razón para esperar que la sustituibilidad, y no hay ningún problema. Pero esto parece falsa: En muchos contextos, podemos libremente sustituto de la serie y sus sumas. También utilizamos esta "$=$" símbolo simétricamente y transitivamente, mezclando sin comentarios con la normal de la igualdad.
He entendido correctamente el uso normal? Es cualquiera de estas interpretaciones de la "correcta"? Hay un "lógico de la solución"?