Pregunta acerca de Euler enfoque para encontrar $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$

Question

Para un estudiante de primer año de cálculo del proyecto, he utilizado de Euler enfoque para encontrar $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$, y tomó nota de que en Wikipedia la explicación de que el infinito representación de los productos de $\frac{\sin x}x=\prod_{n=1}^\infty(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$ es injustificada sin Weierstrass' teorema de factorización. Me estoy dando cuenta que es muy difícil seguir el artículo acerca de Weierstrass' teorema.

1. Alguien puede explicarme lo del injustificadas acerca de Euler infinito de representación de los productos? Desde $\frac{\sin(x)}x$ tiene un polinomio de Taylor de la representación, y creo que todos los polinomios con raíces (en el conjunto de los números complejos), ¿no debería también tener un infinito producto de las raíces de la representación?

2. Alguien puede explicarme lo de Weierstrass' teorema hace para justificar Euler de la representación, y si es dentro de la capacidad de un estudiante de primer año de cálculo estudiante, puede que alguien me muestre una prueba de que es más accesible que los que he encontrado por Google?

Gracias por su tiempo. Este es un problema interesante y muy diferente de la que yo estoy acostumbrado a hacer en mi clase de cálculo.

Answer 1

Si usted cree que el de Euler, el método es totalmente riguroso, también se podría argumentar de la misma manera que $$ e^x \frac{\sin x}x = \text{the same product formula you wrote above} $$ debido a $e^x$ no tiene raíces complejas.

Answer 2

Siempre existe la opción de evaluar el infinito producto directamente. Pero no sé cuánto sabe usted acerca de la función gamma.

Euler límite de la definición de la función gamma es $ \displaystyle\Gamma(z) = \lim_{m \to \infty} \frac{m! \ m^{z}}{z(z+1)\ldots (z+m)}$.

A continuación, $$ \displaystyle \Gamma(1+z) = z \Gamma(z) = \lim_{m \to \infty} \frac{m! \ m^{z}}{(z+1)\cdots (z+m)} = \lim_{m \to \infty} m^{z} \prod_{k=1}^{m} \left(1+\frac{z}{k} \right)^{-1} $$

Y $$ \Gamma(1-z) = \lim_{m \to \infty} m^{-z} \prod^{m}_{k=1} \left( 1- \frac{z}{k} \right)^{-1}$$

Por lo $$ z \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \lim_{m \to \infty} \prod_{k=1}^{m} \left( 1 - \frac{z^{2}}{k^{2}} \right)^{-1} = \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^{2}}{k^{2}} \right)^{-1}$$

O el uso de la reflexión de la fórmula para la función gamma,

$$\frac{ \pi z}{\sin \pi z} = \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^{2}}{k^{2}} \right)^{-1} \implies \frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^{2}}{k^{2}} \right)$$

Finalmente, sólo reemplace$z$$ \displaystyle \frac{z}{\pi}$.

Answer 3

Así que estamos hablando de la serie de Taylor para $\frac{sin(x)}{x}$, que no es un polinomio, es una serie infinita que se define como un límite de polinomios. A ver que no todas las funciones representables mediante la serie de Taylor tiene ceros, considera a $e^z$. Esto tiene un inverso multiplicativo $e^{-z}$, por lo que es claramente nunca $0$. Es cierto que $e^z=1+ z+ \ldots \frac{z^n}{n!} \ldots$, y cada una de las funciones de $e_n(z) = 1+z+ \ldots \frac{z^n}{n!}$ $n$ raíces en el plano complejo. Sin embargo, como $n \to \infty$ estas raíces son "empujados" el plano complejo.

El punto es que tratar con series de Taylor es sutil, y no debe ser pensado como un infinito polinomio, por lo que necesitamos teoremas como el de Weierstrass' teorema de la factorización de la forma de lidiar con ellos.