En Path Integrals, ¿el lagrangiano o el hamiltoniano son fundamentales?

Question

Cuando estudiaba los integrales del camino, una pregunta surgió en mi mente... ¿Qué presentación es más fundamental para calcular el propagador?

¿El basado en el Hamiltoniano (espacio de fase)?

$$K(B|A) = \int \mathcal {D}[p] \mathcal {D}[q] \exp \{ \frac {i}{ \hbar } \int dt [ p \dot q - H(p,q) ] \} $$

o el que se basa en el lagrangiano (espacio de configuración)?

$$K(B|A) = \int \mathcal {D}[q] \exp \{ \frac {i}{ \hbar } \int dt L \} $$

Leyendo la tesis de Feynman vemos que afirma que "[...] se ha elaborado un método de formulación de un análogo cuántico de sistemas para el que no existe un Hamiltoniano, sino un principio de mínima acción. Es una descripción de este método lo que constituye esta tesis". Parece tomar la forma lagrangiana como más fundamental.

Otros autores, como Hatfield o Swanson, parecen tomar la forma del espacio de fase como algo más fundamental. Ellos ven la otra forma como un caso especial en el que la $p$ La dependencia es cuadrática.

Entonces, esta es mi pregunta.
¿Cuál es más confiable? ¿Hay algún ejemplo en el que una vista sea privilegiada?

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

1) La correspondencia entre las teorías de Lagrange (L) y Hamilton (H) está llena de sutilezas. Se dispone de algunas herramientas generales para las transformaciones singulares de Legendre, como el análisis de Dirac-Bergmann, el método de Faddeev-Jackiw, etc. Pero en lugar de afirmar la completa comprensión y existencia de la correspondencia L-H, es probablemente más justo decir que tenemos una larga lista de teorías (como por ejemplo Yang-mills, Cherns-Simons, GR, etc.), donde se han elaborado ambos lados de la correspondencia L-H.

2) En general las integrales del camino son mal entendidas más allá de una expansión perturbadora alrededor de una teoría libre Gaussiana, así que para ponderar lo que sucede si el momento $p$ no son cuadráticos, es sólo parte de un problema mayor.

3) Una diferencia fundamental entre las teorías Lagrangiana y Hamiltoniana es que existe formalmente una elección canónica de la medida integral del camino en las teorías Hamiltonianas, mientras que la medida integral del camino Lagrangiano tradicionalmente es sólo un módulo fijo de factores invariantes. En ese sentido la formulación Hamiltoniana es más fundamental.

En detalle, si asumimos que el espacio de fase de una teoría Hamiltoniana está equipado con un simbólico dos-formas

$$ \tag {1} \omega ~=~ \frac {1}{2} dz^I ~ \omega_ {IJ} \wedge dz^J,$$

hay un factor de medida canónico

$$ \tag {2} \rho ~=~ { \rm Pf}( \omega_ {IJ})$$

dado por el (súper) Pfaffian , al menos para las integrales de dimensiones finitas, que en circunstancias favorables pueden generalizarse a dimensiones infinitas. Este factor de medida $ \rho $ es sólo 1 en las coordenadas de Darboux $(q^1, \ldots , q^n, p_1, \ldots , p_n)$ con $ \omega = dp_i \wedge dq^i$ .