Cómo resolver el límite de $\lim_{n \to \infty} \sqrt[8]{n^2+1} - \sqrt[4]{n+1}$?

Question

¿Cómo puedo demostrar que este límite es cero?

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[8]{n^2+1} - \sqrt[4]{n+1} = 0$$

He hecho lo multiplique por conjugados cosa, que parece conducir a ninguna parte:

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt[8]{n^2+1} - \sqrt[4]{n+1}) (\frac{\sqrt[8]{n^2+1} + \sqrt[4]{n+1}}{\sqrt[8]{n^2+1} + \sqrt[4]{n+1}})$$

$$=$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[4]{n^2+1} + \sqrt[2]{n+1}}{\sqrt[8]{n^2+1} + \sqrt[4]{n+1}}$$

También he pensado en usar el teorema del encaje, como $\sqrt[8]{n^2+1} - \sqrt[4]{n+1} \leq \sqrt[8]{n^2+1} - \sqrt[4]{n}$, pero no estoy seguro de cómo lo vinculado desde abajo.

¿Cuál es el enfoque correcto para la resolución de este límite?

Answer 1

Poner a $\displaystyle n=\frac1{h^4},$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[8]{n^2+1} - \sqrt[4]{n+1}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{(1+h^8)^{\frac18}-(1+h^4)^{\frac14}}h$$

El Uso Generalizado Teorema Del Binomio

$$\lim_{h\to0}\frac{(1+h^8)^{\frac18}-(1+h^4)^{\frac14}}h=\lim_{h\to0}\frac{1+\frac{h^8}8+O(h^{16})-\{1+\frac{h^4}4+O(h^8)\}}h=\lim_{h\to0}\frac{-\frac{h^4}4+O(h^8)}h=0$$

Answer 2

A partir de la identidad $$\sqrt[8]a-\sqrt[4]b=\frac{a-b^2}{(\sqrt[8]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+b)}$$ para $a=n^2+1$ $b=n+1$ tenemos que $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[8]{n^2+1}-\sqrt[4]{n+1}=$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[8]{n^2+1}+\sqrt[4]{n+1}}\frac{1}{\sqrt[4]{n^2+1}+\sqrt{n+1}}\frac{n^2+1-{(n+1)^2}}{\sqrt{n^2+1}+n+1}=$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[8]{n^2+1}+\sqrt[4]{n+1}}\frac{1}{\sqrt[4]{n^2+1}+\sqrt{n+1}}\frac{-2}{\sqrt{1+1/n^2}+1+1/n}=0\cdot0\cdot(-2)=0$$