Estoy leyendo "Álgebra Lineal" por Kenneth Hoffman y Ray Kunze.
Ahora estoy perdido en $\S$6.4 Teorema 6: la prueba se ve bien, pero cuando cojo un ejemplo, de alguna manera que no corresponde. Por favor buscar debajo del teorema y de la prueba, y mi ejemplo en $\color{blue}{\texttt{blue}}$, y pregunta en $\color{red}{\texttt{red}}$ en el paso 8. Por favor, amablemente me ayude: ¿de dónde me equivoco?
Teorema: Vamos a $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial sobre el campo $F$ y deje $T$ ser un operador lineal en $V$. A continuación, $T$ es diagonalizable si y solo si el polinomio mínimo de a $T$ tiene la forma $p = (x - c_1) \dots (x - c_k)$ donde $c_1, \dots , c_k$ son elementos distintos de a $F$. $$\color{blue}{\texttt{Ejemplo: Elegir } V=\mathbb R^3, F=\mathbb R, T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, p=(x-1)(x-2), c_1=1, c_2=2 }$$
La prueba es: ((1)(2).. se agregan los números por mí) Prueba
(1) Hemos señalado anteriormente que, si $T$ es diagonalizable, su polinomio mínimo es un producto de distintos factores lineales (ver la discusión antes de Ejemplo 4).
(2)Para demostrar lo contrario, deje $W$ ser el subespacio generado por el conjunto de los vectores característicos de $T$, y supongamos $W \ne V$. $$\color{blue}{\texttt{característica vectores:} v_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \texttt{para } c_1=1, v_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \texttt{para } c_2=2.\\ W=\langle v1, v2 \rangle, W\ne V=\mathbb R^3. }$$ (3)Por el lema utilizado en la demostración del Teorema 5, hay un vector $\alpha$ no $W$ y un valor característico de a $c_j$ $T$ tales que el vector $\beta= (T - c_jI)\alpha$ se encuentra en W. $$\color{blue}{\texttt{Elegir: } \alpha=\begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix}, c_j=c_1=1, \\ \beta=\begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \beta=v_2 \en \langle v_1, v_2 \rangle = W. }$$ (4)Desde $\beta$ está en $W$, $\beta = \beta_1+\dots\beta_k$ donde $T\beta_i = c_i\beta_i$, $1\le i\le k$, y por lo tanto el vector $h(T)\beta = h(c_1)\beta_1+\dots+h(c_k)\beta_k$ es en $W$, para cada polinomio $h$.
(5)$p = (x-c_j)q$, para algún polinomio $q$. $$\color{blue}{ p=(x-1)(x-2)=(x-1)q \Rightarrow q=(x-2) }$$ (6)También se $q- q(c_j) = (x - c_j)h$. $$\color{blue}{ q-q(c_1)=q-q(1)=(x-2)-(1-2)=(x-1)=(x-1)h \Rightarrow h=1 }$$ (7)Tenemos $q(T)\alpha - q(c_j)\alpha = h(T)(T - c_jI)\alpha = h(T)\beta$. $$\color{blue}{ q(T)=(T-2I)=\begin{bmatrix} -1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}, \\ q(T)\alpha=\begin{bmatrix} -1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix}\\ q(c_j)\alpha=q(c_1)\alpha=q(1)\alpha=(1-2)\alpha=-\alpha=\begin{bmatrix} 0 \\ - 0.5 \\ - 0.5 \end{bmatrix}, \\ q(T)\alpha-p(c_j)\alpha=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = h(T)\beta = 1\beta\\ }$$ (8)Sino $h(T)\beta$ $W$ y, desde $0 = p(T)\alpha = (T - c_jI)q(T)\alpha$, $$\color{blue}{ p(T)=0\\ q(T)\alpha = \begin{bmatrix} -1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} \\ 0=p(T)\alpha = (T - c_jI)q(T)\alpha = \begin{bmatrix} 0 & 0&0\\ 0& 1&1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} }$$ el vector $q(T)\alpha$$W$. $$\color{red}{ q(T)\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} \noen W= \langle v_1, v_2 \rangle = \left \langle \begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right \rangle\\ \texttt {--¿Qué puede ocurrir? por qué este paso no corresponde?} }$$ (9)por lo Tanto, $q(c_j)\alpha$$W$.
(10)Desde $\alpha$ no $W$,$q(c_j) = 0$.
(11)Que contradice el hecho de que $p$ tiene distintas raíces. QED.
