Elipse inscrita en un cuadrilátero

Question

El problema es:

Dado que una elipse se inscribe en un cuadrilátero convexo y cada una de sus diagonales pasa por uno de los focos de la elipse demuestre que el producto de los lados opuestos son iguales.

Ahora he estado pensando en esto durante un tiempo y podría transformarlo en un problema de ángulos, por favor si alguien puede demostrar que los dos ángulos marcados en la imagen son iguales se lo agradeceré (A y B son los focos de la elipse $EHLG$ es el cuadrilátero):

Si al final de estos 6 días nadie viene con una respuesta de geometría plana premiaré la solución trigonométrica

Answer 1

Esta es una prueba completa, y puede ser un poco repetitiva porque estoy usando el Ley del Seno una y otra vez. Estoy tratando de encontrar algo más elegante, pero esto es lo único que se me ocurrió en este momento.( He utilizado un diagrama diferente porque mi internet no funcionaba mientras estaba trabajando en esto. Sólo salta a la nota final si quieres ver cómo los ángulos son iguales).

$DEGF$ es el cuadrilátero y $A$ y $B$ son los focos.

Utilizando la ley del seno en $\Delta DBE$ se obtiene $\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{\sin\angle DBE}{\sin\angle BDE}$ y en $\Delta GBE$ se obtiene $\dfrac{GE}{BE}=\dfrac{\sin\angle GBE}{\sin\angle BGE}$ . Dividiendo los dos obtendrás: $\dfrac{DE}{GE}=\dfrac{\sin\angle DBE}{\sin\angle BDE}\cdot\dfrac{\sin\angle BGE}{\sin\angle GBE}\tag{i}$

Utilizando la ley del seno en $\Delta BDF$ se obtiene $\dfrac{FD}{FB}=\dfrac{\sin\angle DBF}{\sin\angle BDF}$ y en $\Delta BGF$ se obtiene $\dfrac{FG}{FB}=\dfrac{\sin\angle GBF}{\sin\angle BGF}$ . Dividiendo los dos obtendrás: $\dfrac{FD}{FG}=\dfrac{\sin\angle DBF}{\sin\angle BDF}\cdot\dfrac{\sin\angle BGF}{\sin\angle GBF}\tag{ii}$

Dividiendo (i) y (ii): $\dfrac{DE\cdot FG}{GE\cdot FD}=\dfrac{\sin\angle BGE}{\sin\angle BDE}\cdot\dfrac{\sin\angle BDF}{\sin\angle BGF}\tag{iii}$

Utilizando la ley del seno en $\Delta DFI$ se obtiene $\dfrac{DI}{FI}=\dfrac{\sin\angle DFE}{\sin\angle FDG}$ y en $\Delta GFI$ se obtiene $\dfrac{GI}{FI}=\dfrac{\sin\angle GFE}{\sin\angle FGD}$ . Dividiendo los dos obtendrás: $\dfrac{DI}{GI}=\dfrac{\sin\angle DFE}{\sin\angle FDG}\cdot\dfrac{\sin\angle FGD}{\sin\angle GFE}\tag{iv}$

Utilizando la ley del seno en $\Delta DEI$ se obtiene $\dfrac{DI}{EI}=\dfrac{\sin\angle DEF}{\sin\angle EDG}$ y en $\Delta GEI$ se obtiene $\dfrac{GI}{EI}=\dfrac{\sin\angle GEF}{\sin\angle EGD}$ . Dividiendo los dos obtendrás: $\dfrac{DI}{GI}=\dfrac{\sin\angle DEF}{\sin\angle EDG}\cdot\dfrac{\sin\angle EGD}{\sin\angle GEF}\tag{v}$

Combinando (iv) y (v): $\dfrac{DI}{GI}=\dfrac{\sin\angle DFE}{\sin\angle FDG}\cdot\dfrac{\sin\angle FGD}{\sin\angle GFE}=\dfrac{\sin\angle DEF}{\sin\angle EDG}\cdot\dfrac{\sin\angle EGD}{\sin\angle GEF}\tag{vi}$

Haciendo lo mismo con $DB$ y $GB$ obtendrá $$\dfrac{DB}{GB}=\dfrac{\sin\angle DFE}{\sin\angle GFE}\dfrac{\sin\angle BGF}{\sin\angle BDF}=\dfrac{\sin\angle DEF}{\sin\angle GEF}\dfrac{\sin\angle BGE}{\sin\angle BDE}\tag{vii}$$

Dividiendo (vi) y (vii) se obtiene: $$\dfrac{\sin\angle FGD}{\sin\angle FDG}\cdot\dfrac{\sin\angle BDF}{\sin\angle BGF}=\dfrac{\sin\angle DGE}{\sin\angle GDE}\cdot\dfrac{\sin\angle BDE}{\sin\angle BGE}\tag{viii}$$

Ahora, debido a la propiedad 1 en este enlace, $\angle FGD=\angle BGE, \angle GDE=\angle BDF,\angle DGE=\angle BGF$ y $\angle BDE=\angle FDG$ . Haciendo las sustituciones necesarias, la relación (viii) se convierte en: $$\sin^2\angle BGE \cdot\sin^2\angle BDF=\sin^2\angle BDE \cdot\sin^2\angle BGF$$ $$\sin\angle BGE \cdot\sin\angle BDF=\sin\angle BDE \cdot\sin\angle BGF\tag{ix}$$

Combinando (iii) y (ix): $DE\cdot FG=GE\cdot FD$

NOTA: Utilizando las relaciones (vi),(vii) y (ix) es fácil ver que $\dfrac{DI}{GI}=\dfrac{DB}{GB}$ . Por el Teorema de la bisectriz del ángulo Esto significa que $\angle DBF = \angle GBF$ y de manera similar $\angle FAG = \angle EAG$ .