Visualización de la Lente de Espacios

Question

Estoy tratando de visualizar la lente espacios geométricamente.

Si bien soy consciente de que el hecho de que la mayoría de los colectores de que no puede ser embebido en $\mathbb{R}^3$ son difíciles de visualizar debido a las limitaciones obvias, algunos de ellos no son demasiado complicadas; Por ejemplo, la 3-esfera se puede ver fácilmente desde su más simple Heegaard escisiones, o incluso directamente desde la compactification de $\mathbb{R}^3$. La botella de Klein es un poco más complicado, pero puede ser visualizado, si pensamos en la cuarta dimensión como un cambio en el color, por ejemplo.

Sin embargo, cuando se trata de Lentes de espacios, estoy perdido. Conozco a varias definiciones para los espacios (para aclarar, me refiero a las 3 dimensiones de la caja) - hay el "estándar" de la definición que utiliza la fórmula para la 3-esfera incrustado en $\mathbb{R}^4$ ${\mathbb{Z}}/{p\mathbb{Z}}$ acción. Otra definición es a través de Heegaard escisiones, hay una definición que utiliza la identificación de triángulos en una 3-bola (o pirámide). Por último, hay una definición que utiliza Dehn de la cirugía.

Las definiciones que se pueden encontrar aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Lens_space

La primera definición es completamente no-intuitivo para mí (ni siquiera puedo visualizar $S^3$ integrado en el plano complejo). El Heegaard la división de la definición es simple, pero claro geométricamente así. Creo que el uso de identificaciones en una pelota es el más prometedor, sin embargo, cuando estoy tratando de dibujar y visualizar lo puedo conseguir algo que no se siente como un colector (y no por la no-incorporación de motivos), por lo que claramente estoy haciendo algo mal.

Así podría alguien sugerir una manera de visualizar los espacios? Imágenes y/o referencias también sería de gran ayuda.

Answer 1

Si desea visualizar la acción de la $\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Z}^3$, puede ser más exitoso en el uso de la proyección estereográfica a pensar en la acción como en la $\mathbb{R}^3$. He encontrado que es útil pensar en el $\mathbb{Z}_p$ acción como una discreta análogo de la Hopf fibration. Esto no es exactamente cierto, pero las acciones son lo suficientemente similares como para que si puedes visualizar el Hopf fibration, esto te ayudará a visualizar la acción discreto.

De hecho, usted puede escribir a la acción explícitamente con tres coordenadas mediante toroidal de coordenadas; hay un trabajo por Semanas y algunos otros que explícitamente se calcula la de Laplace funciones propias de la lente de los espacios de uso de estas coordenadas. Aquí es el papel; el primer par de secciones son lo que usted desea. Turaev del libro en torsiones también tiene una sección sobre la lente de espacios, que es donde tengo la imagen de los invariantes de la célula de la descomposición de abajo.

Como un resumen de encolado, lo que está haciendo es pegar la parte inferior a la parte superior con una vuelta de tuerca. Esto también ayuda con la visualización de la acción en $\mathbb{S}^3$ en la proyección estereográfica: Creo fundamental del dominio como una lente en forma de engrosamiento de disco que abarca el círculo unidad en $\mathbb{S}^3$ y la acción de las baldosas $\mathbb{S}^3$ con girar copias de este disco. Creo que esto es donde el nombre de "lente espacio" viene de. Rolfson tiene algunos buenos ejemplos en su libro sobre el nudo de la teoría.

Construir a través de la división de Heegaard, tomar dos torres y la cola con una vuelta de tuerca. Para visualizar esto, creo que de un toro como sentado en $\mathbb{R}^3$, y el otro como su complemento; cuando se corta y póngales pegamento nuevo, que efectivamente está reproduciendo la acción en $\mathbb{S}^3$.

De hecho, este es también cómo se construye la lente de espacios a través de la Dehn de la cirugía en el unknot, ya $\mathbb{S}^3$ es una unión de dos torii. (Esta es también la prueba de que $\mathbb{S}^3 = L(1;1)$.)

Algunas de las imágenes. Son algo ruidosos, espero que les es de gran ayuda.