La distribución de la teoría y ecuaciones diferenciales.

Question

¿Cómo funciona la distribución de la teoría juega un papel en la resolución de ecuaciones diferenciales? Esta pregunta puede parecer muy general. Voy a tratar de explicar, por favor tengan paciencia conmigo.

Entiendo, distribuciones de hacer posible diferenciar las funciones cuya derivados no existen en el sentido clásico y cualquier localmente integrable función tiene una distribución de derivados.En cuanto a si la ecuación diferencial, si los coeficientes de un operador diferencial son la pieza-sabio continua, a continuación, hacemos uso de las distribuciones.(¿cómo y por qué funciona?)

Estoy más interesado en su relación con la función de Green. Por favor me ayudan a entender, ¿cómo puedo distribución del uso de la teoría para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Answer 1

Voy a tratar de presentar el papel que las distribuciones de jugar cuando estamos buscando soluciones de ecuaciones diferenciales. Por el momento, vamos a trabajar en $\mathbb{R}^n$ y con suave funciones sólo. Supongamos que queremos resolver la ecuación de Poisson $\Delta u = f$, dada la función de $f \in C^{\infty}$. Si tal función $u \in C^{\infty}$ existe, entonces para cualquier $v \in C^{\infty}_0$, tenemos \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^n} v \Delta u = \int_{\mathbb{R}^n} fv. \tag{1} \end{equation} Usando integración por partes, \begin{equation} -\int_{\mathbb{R^n}} \nabla u \cdot \nabla v = \int_{\mathbb{R}^n} fv. \tag{2} \end{equation} Ahora vamos a invertir la lógica: supongamos que podemos encontrar una función $u$ que satisface $(2)$ por cada $v \in C^{\infty}_0$, entonces no necesariamente satisfacer $\Delta u =f$? Si es o no es, vamos a llamar a esta función en $u$ $\textbf{weak solution}$ de la ecuación diferencial $\Delta u = f$. Es en general mucho más fácil demostrar que una ecuación diferencial tiene una solución débil de una solución en el sentido usual de la palabra.

La idea de distribuciones lleva esta idea un paso más allá: podemos ver el mapa de $v \mapsto -\int_{\mathbb{R}^n} \nabla u \cdot \nabla v$ como un funcional lineal $C^{\infty}_0 \to \mathbb{R}$. Vamos a definir un $\textbf{distribution}$ como un funcional lineal $C^{\infty}_0 \to \mathbb{R}$; como antes, podemos hacer si tenemos una distribución $\nu$ que está de acuerdo con el funcional lineal $v \mapsto \int_{\mathbb{R}^n} fv$, podemos construir a partir de una solución de $\Delta u =f$? (Tal distribución a menudo también se llama una solución débil.) Aunque no está claro si es o no siempre va a ocurrir, esta es la configuración con la maquinaria de análisis funcional es el más adecuado para abordar el problema.

En muchos de niza de los casos (tales como la ecuación de Poisson para el adecuado $f$), si tenemos una distrubución que resuelve nuestros PDE en el sentido débil, entonces va a resultar que esto es de hecho una función, y su frecuencia dependerá de la función dada $f$ (por ejemplo, si $f \in C^{\infty}$$\Delta u =f$, $u \in C^{\infty}$ así; este es un ejemplo de elíptica regularidad.)

La conclusión de lo anterior es la siguiente: nos gustaría encontrar a $u$ satisfacción $\Delta u = f$ en función del espacio, para ampliar nuestro espacio al espacio de las distribuciones. Allí, mostrar que podemos encontrar una solución, y muestran que esta solución, de hecho, era un miembro de la función original de espacio para empezar (por supuesto, esta última frase no siempre funciona, pero esta es la filosofía y la esperanza!).

Answer 2

La aplicación más básica es el uso de la solución fundamental (también conocida como la función de Green) para resolver problemas lineales no homogéneas. Al $*$ es de convolución y $\delta$ es la delta de Dirac centrado en cero, $\delta * f=f$ para una amplia clase de $f$. Por otro lado, si $L$ es un operador diferencial lineal, a continuación,$Lu * f=L(u*f)$. (O al menos, esto es sin duda cierto al $u,f$ son lisas.) Esto significa que si usted podría encontrar una solución a $Lu=\delta$, entonces usted podría convolución con $f$ en ambos lados para obtener $L(u*f)=f$. Por lo $u*f$ es la solución a $Lv=f$ si $u$ es la solución a $Lw=\delta$. Esta $u$ se llama la solución fundamental o de la función de Green para el operador $L$.

Duhamel principio nos permite extender este tiempo-dependiente de problemas, siempre que la distribución espacial diferencial operador es constante (y de nuevo lineal). Cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel%27s_principle#General_considerations

Answer 3

A continuación es la mínima de las matemáticas - o más bien la mínima Lineal De La Teoría De Sistemas - necesaria para entender el papel de las distribuciones y funciones de Green con las ecuaciones diferenciales. Como extraído de las notas antiguas acerca de las "Señales y Sistemas".
Las señales están representadas por $\,x(t)\,$ $\,y(t)\,$ donde $\,x\,$ es una entrada señal de excitación, $\,y\,$ es una señal de salida / respuesta y $\,t\,$ es el tiempo. Un sistema lineal $S$ está representado por $y(t) = S x(t)$ ; produce una salida cuando se da la entrada y la linealidad significa que: $$ S \left[ \lambda\, (t) + \mu\, b(t) \right] = \lambda \, S \, (t) \, + \, \mu \, S \, b(t) $$ Por lo $S$ es lineal y unidimensional del operador. Más sobre operadores lineales y especialmente a los operadores (ordinario) ecuaciones diferenciales:

• Operador De Cálculo

Un sistema de $S$ es homogénea en el tiempo - también llamado Invariable en el tiempo o Cambio de invariantes - iff para todas las señales de entrada de $x(t)$ y para todas las señales de salida $y(t)$ y todo el tiempo que desplaza -$\tau$ : $$ S \, x(t-\tau) = y(t-\tau) $$ Propiedades de lineal homegeneous sistemas son por ejemplo: $$ S x'(t) = y'(t) \quad \Longleftrightarrow \quad S \frac{d}{dt} x(t) = \frac{d}{dt} S x(t) \quad \Longleftrightarrow \quad \left[ S \, , \, i\, \manejadores \frac{d}{dt} \right] = 0 $$ La respuesta de la derivada de la entrada es la derivada de la salida; el tiempo de la diferenciación cummutes con el operador del sistema; la conservación de energía está garantizado (QM).
Considere la siguiente suma, para una amplia clase de funciones $f(t)$ : $$ S \left[ \sum_i f(\tau_i)\, x(t-\tau_i)\, \Delta\tau_i \right] = \sum_i f(\tau_i) \, S x(t-\tau_i) \, \Delta\tau_i = \sum_i f(\tau_i)\, y(t-\tau_i)\, \Delta\tau_i $$ Tomando el límite de esta suma de Riemann para $\Delta\tau_i \to 0$ rendimientos: $$ S \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\, x(t-\tau) d\tau \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\, y(t-\tau) d\tau $$ Donde las integrales de convolución $f * x$ $f * y$ son reconocidos.
Supongamos que una lineal y homogéneo sistema es excitado con una Dirac-delta como su entrada. A continuación, la respuesta correspondiente se denomina delta respuesta, escrito como $\,h(t)\,$, por definición. Por lo tanto tenemos: $$ S\, x(t) = y(t) \qquad ; \qquad S\, \delta(t) = h(t) $$ Esta función unidimensional es equivalente a la función de Greencuando generalizar a más dimensiones, por ejemplo, el espacio-tiempo. La propiedad fundamental de Dirac-delta dice que: $x(t) = x(t) * \delta(t)$ , la llamada "apertura" de la propiedad en holandés, pero no podía encontrar un buen equivalente en inglés. Por lo tanto: $$ y(t) = S\, x(t) = \left\{ \, x(t) * \delta(t) \, \right\} = x(t) * h(t) $$ Así, la superposición integral de $S$ ha encontrado: $$ y(t) = h(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)\, x(t-\tau) d\tau $$ En consecuencia: si sabemos que el Delta-respuesta, sabemos que cualquier respuesta del sistema.
El de arriba se explica en pocas palabras algunos elementos esenciales, en la mano de uno-dimensional lineal y homogénea de los sistemas en el tiempo. Espero que, no obstante, sirve a un propósito y que el lector es capaz de pensar cómo generalizar este material para más de una dimensión.