¿Es posible que el multiplicador de Lagrange sea igual a cero?

Question

Me gustaría encontrar el extremo de la función $f(x,y)=x^2+4xy+4y^2$ sujeto a $x^2+2y^2=4$ usando los multiplicadores de Lagrange.

¿Es posible obtener para los multiplicadores de Lagrange el valor cero?

No lo creo porque los vectores de gradiente para $f$ y $g(x,y)=x^2+2y^2$ tienen que ser proporcionales.

Así que este problema tiene dos soluciones. Pero su imagen por la función $f$ es la misma. Entonces, ¿cómo puedo saber si corresponden a un máximo o a un mínimo?

Answer 1

Para la ley gravitacional universal N g=go(r^2/(r+z)^2) donde r es el radio de la tierra y z es la altitud alcanzada con respecto a la tierra crest Por lo tanto, la gravedad no es constante durante su caída y no depende de la masa del cuerpo.

En cuanto al gran aumento de la velocidad, la disminución del efecto de la resistencia del aire a z= 39 km provoca un rápido aumento debido a la fuerza gravitatoria, pero este aumento después de un minuto comienza a retroceder hasta alcanzar su velocidad máxima. La temperatura, la presión y la densidad del aire también afectan a su caída.

Answer 2

El valor resultante del multiplicador $\lambda$ puede ser cero. Este será el caso cuando un punto estacionario incondicional de $f$ se encuentra en la superficie definida por la restricción. Consideremos, por ejemplo, la función $f(x,y):=x^2+y^2$ junto con la restricción $y-x^2=0$ .

En su ejemplo tenemos que examinar la "función principal de Lagrange" $$\Phi(x,y,\lambda):=x^2+4xy+y^2-\lambda(x^2+2y^2-4)$$ y obtener $$\eqalign{\Phi_x &= 2(1-\lambda) x + 4y \cr \Phi_y &= 4x + 2(1-2\lambda) y \cr}\ .$$ Los puntos $(x,y)$ que buscamos son diferentes de $(0,0)$ . Pero el sistema de ecuaciones $\Phi_x=0$ , $\Phi_y=0$ sólo tiene una solución no trivial $(x,y)$ si su determinante es $0$ . Esto da una ecuación para $\lambda$ (cuyas soluciones son ambas distintas de cero).

A partir de aquí te toca a ti.

Answer 3

Esta es una función continua, y la estás considerando en un conjunto compacto. Por tanto, alcanza su mínimo y su máximo. Dado que tanto la función como la restricción son invariables bajo inversión, se deduce que hay al menos dos mínimos y dos máximos. El método del multiplicador de Lagrange da como resultado cuatro puntos estacionarios. Como sabes que debe haber al menos dos mínimos y dos máximos, puedes deducir cuáles son simplemente calculando los valores de la función.

No entiendo a qué se refiere tu pregunta sobre la obtención del valor cero para los multiplicadores de Lagrange. En principio no veo la razón por la que no deban ser cero, pero en este caso no lo son.

Por cierto, para comprobar su solución, también puede encontrar el mínimo y máxima utilizando Wolfram Alpha.

Answer 4

Dado que la función fue aparentemente alterada después de que al menos algunas de las respuestas fueron publicadas, voy a abordar una peculiaridad de este problema que puede haber planteado Ilda de la preocupación original.

Hay que señalar que mientras las "curvas de nivel" de la función $ \ f(x, \ y) \ = \ x^2 \ + \ 4xy \ + \ 4y^2 \ $ pueden dar la impresión de ser elipses (giradas), se trata en realidad de la ecuación de una degenerado cónico: ya que $ \ x^2 \ + \ 4xy \ + \ 4y^2 \ = \ (x \ + \ 2y)^2 \ $ una curva de nivel es en realidad un par de líneas paralelas . Además, al tratarse sólo de coordenadas de valor real, la valor mínimo de la función es cero que "colapsa" esa curva de nivel a una sola línea que pasa por el origen. Este es el caso de independientemente de la restricción.

Así que una interpretación geométrica del problema del multiplicador de Lagrange es encontrar el valor o valores de la función para los que la cónica degenerada es tangente a la "elipse de la restricción" $ \ x^2 \ + \ 2y^2 \ = \ 4 \ $ . Por simple comodidad, y como recordatorio de los posibles valores de la función, expresaremos las curvas de nivel de $ \ f(x, \ y) \ $ como $ \ (x \ + \ 2y)^2 \ = \ c^2 \ $ . He aquí un gráfico de la situación:

Ahora, nosotros puede resolver parte de este problema sin cálculo, sólo con el propósito de investigar la naturaleza de la extremización. Si describimos las líneas paralelas por $ \ x \ + \ 2y \ = \ \pm c \ $ podemos localizar los posibles puntos de intersección con la elipse de la restricción a partir de

$$ \ ( \ \pm c \ - \ 2y \ )^2 \ + \ 2y^2 \ = \ 4 \ \ \Rightarrow \ \ 6y^2 \ \mp \ 4cy \ + \ (c^2 \ - \ 4) \ = \ 0 \ \ . $$

El discriminante de esta ecuación cuadrática es $ \ ( \ \mp 4c \ )^2 \ - \ 4 \cdot 6 \ (c^2 \ - \ 4) \ = \ 96 \ - \ 8c^2 \ $ . Cada línea tiene una única intersección con la elipse cuando este discriminante es cero, lo que ocurre para $ \ c^2 \ = \ 12 \ $ . El discriminante es negativo para valores mayores de $ \ c^2 \ $ , lo que significa que habría no puntos de intersección, por lo que el valor máximo de $ \ f(x, \ y) \ $ bajo la restricción es $ \ 12 \ $ . Como dijimos anteriormente, el valor mínimo es necesariamente cero, lo que produce puntos de intersección con la elipse; estos, sin embargo, son no puntos tangentes.

[ Nota al margen con un poco más de trabajo, podemos determinar los dos puntos tangentes para $ \ f(x, \ y) \ = \ 12 \ $ para ser $ \ \left( \pm \frac{2}{3} \sqrt{3} , \ \pm \frac{2}{3} \sqrt{3} \right) \ $ que se colocan simétricamente en torno al origen, como se espera cuando tanto la función a extremar y la función de restricción son simétricas bajo inversión (lo que también se llama "simetría sobre el origen"). Normalmente, en una optimización de este tipo, como joriki observa, cada uno de estos puntos estaría asociado al máximo o mínimo de la función. Vemos algo de eso aquí si escribimos las ecuaciones de las líneas paralelas individualmente, pero en nuestra situación, esas líneas representan sólo un valor de la función].

Ahora podemos ver a qué nos lleva el método del multiplicador de Lagrange. Las ecuaciones de Lagrange para (la versión final de) la función bajo la restricción son

$$ 2x \ + \ 4y \ = \ \lambda \cdot 2x \ \ , \ \ 4x \ + \ 8y \ = \ \lambda \cdot 4y \quad \mathbf{[1]} $$

$$ \Rightarrow \ \ ( \ 1 \ - \ \lambda \ ) \ x \ + \ 2y \ = \ 0 \ \ , \ \ x \ + \ ( \ 2 \ - \ \lambda \ ) \ y \ = \ 0 \ \ . \quad \mathbf{[2]} $$

[esto difiere de Christian Blatter Respuesta de la empresa, debido a la posterior revisión de la función contabilizada].

También podríamos resolver las ecuaciones [ 1 ] para

$$ \lambda \ = \ \frac{x \ + \ 2y}{x} \ = \ \frac{x \ + \ 2y}{y} \ \ . $$

Para $ \ x \ \ne \ 0 \ , \ y \ \ne \ 0 \ $ podemos escribir

$$ x^2 \ + \ 2xy \ = \ xy \ + \ 2y^2 \ \ \Rightarrow \ \ x^2 \ + \ xy \ - \ 2y^2 \ = \ 0 \ \ ; $$

podemos juntar esto con el hecho de que (ya que hay simetría respecto al origen para $ \ f(x, \ y) \ $ y la función de restricción) los extremos se encuentran en líneas que pasan por el origen $ \ y \ = \ mx \ $ para obtener

$$ x^2 \ + \ mx^2 \ - \ 2 \ m^2 x^2 \ = \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ x^2 \ ( 2m^2 \ - \ m \ - \ 1 ) \ = \ 0 $$

$$ \Rightarrow \ \ m \ = \ 1 \ \ , \ \ -\frac{1}{2} \ \ \text{for} \ \ x \ \ne \ 0 \ \ . $$

A partir de estas pendientes, podemos determinar

$$ \mathbf{m = 1 :} \quad y \ = \ x \ \ \Rightarrow \ \ x^2 \ + \ 2x^2 \ = \ 4 \ \ \Rightarrow \ \ x^2 \ = \ \frac{4}{3} \ \ , $$ $$ f \left(\frac{4}{3} , \ \frac{4}{3} \right) \ = \ x^2 \ + \ 4x^2 \ + \ 4x^2 \ = \ 9 \ \cdot \frac{4}{3} \ = \ 12 \ ; \ \text{also} \ \ \lambda \ = \ \frac{x \ + \ 2x}{x} \ = \ 3 \ \ ; $$

$$ \mathbf{m = -\frac{1}{2} :} \quad x \ + \ 2y \ = \ 0 \ \ , \ \ f \left(x , \ -\frac{1}{2}x \right) \ = \ x^2 \ - \ 2x^2 \ + \ x^2 \ = \ 0 \ \ ; $$ $$ \lambda \ = \ \frac{x \ + \ 2y}{x} \ = \ \frac{x \ + \ 2y}{y} \ = \ 0 \ \ , \ \ \text{for} \ \ x, \ y \ \ne \ 0 \ \ . $$

Obtenemos así los valores extremos de nuestra función, y mostramos también que el valor mínimo corresponde a $ \ \lambda \ = \ 0 \ $ que no tiene puntos tangentes en la elipse de la restricción.

Podemos llegar a este último resultado de otra manera: Las ecuaciones [ 2 ] se convierten en un sistema linealmente dependiente para $ \ \lambda \ = \ 0 \ $ , produciendo la ecuación única $ \ x \ + \ 2y \ = \ 0 \ $ con las mismas conclusiones. Las características que hemos visto aquí no son típicas de un problema de optimización que implique funciones relacionadas con no degenerado secciones cónicas.