El seno y el coseno de expresión

Question

Encontrar el mayor valor posible de $5\cos x + 6\sin x$.

He intentado solucionar este uso de gráficas, sin embargo, la respuesta parece ser un feo irracional. Hay un método mejor para solucionar este problema?

Gracias.

Answer 1

Un simple vector basado en el enfoque: se reconoce en la expresión del producto escalar $$(5, 6) \cdot (\cos x, \sin x).$$ This product is maximized when the two vectors are parallel and it is then the product of the moduli $$\sqrt{5^2+6^2} \cdot 1.$$

Answer 2

Sugerencia: Deje $\theta$ ser un ángulo cuyo seno es $\frac{5}{\sqrt{61}}$ y cuyo coseno es $\frac{6}{\sqrt{61}}$. A continuación, nuestra expresión es igual a $$\sqrt{61}\sin(x+\theta).$$

Answer 3

Hay un ad-hoc de la solución como se muestra en otras respuestas.

De todos modos, el método estándar es para encontrar las raíces de la derivada, $-5\sin x+6\cos x=0$, es decir,$\tan x=\frac{6}{5}$, por lo que el $x=\arctan\frac{6}{5}$ o $\pi+\arctan\frac{6}{5}$.

Conecte estos valores en la función objetivo.

Answer 4

He aquí otra manera, por Cauchy-Schwarz desigualdad $$(\cos^2x+\sin^2x)(5^2+6^2)\ge (5\cos x + 6\sin x)^2$$

Answer 5

Deje $r^2=5^2+6^2=25+36=61$ $\alpha = \arctan \frac 56$

Usted encontrará que $$5\cos x+6\sin x=r(\sin\alpha\cos x+\cos\alpha \sin x)=r \sin (x+\alpha)$$